Răspuns:
#3#
Explicaţie:
Lăsa
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
unde constrângem soluția noastră de a fi pozitivă deoarece luăm numai rădăcina pătrată pozitivă, adică #X> = 0 #. Squaring ambele părți avem
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
În cazul în care acest timp constrângem partea stângă să fie pozitivă, deoarece dorim numai rădăcina pătrată pozitivă, și anume
# X ^ 2-7> = 0 # #=># # x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
unde am eliminat posibilitatea #X <= - sqrt (7) # folosind prima noastră constrângere.
Redimensionând din nou ambele părți pe care le avem
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Expresia în rădăcinile pătrate repetate este expresia originală pentru #X#, prin urmare
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
sau
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Soluțiile de judecată din această ecuație sunt # x = -2 # și # X = + 3 # care rezultă în următoarea factorizare
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Folosind formula patratică cu privire la al treilea factor # (X ^ 2 + x-7) = 0 # ne dă două rădăcini:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "și" -3,19 #
Prin urmare, cele patru rădăcini ale polinomului sunt #-3.19…, -2, 2.19…, # și #3#. Numai una dintre aceste valori satisface constrângerea noastră # x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, prin urmare
# X = 3 #
Răspuns:
Altă cale
Explicaţie:
Îmi place să discut o modalitate dificilă de a avea o soluție la o privire asupra problemei rădăcinilor pătrate repetate, cum ar fi următoarele
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-
Unde # r # aparține următoarei serii
#3,7,13,21,31…………#, termenul general al căruia este dat de
# M ^ 2-m + 1 # Unde # m epsilon N # și # min> 1 #
TRUC
Dacă 1 este scos din numărul dat # M ^ 2-m + 1 # numărul rezultat devine # M ^ 2-m # care este # min (m-1) # și care nu este altceva decât produsul a două numere consecutive și unul mai mare dintre aceste două va fi soluția unică a problemei.
când r = # M ^ 2-m + 1 # factorul de # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # și m este răspunsul
când r = 3 factorul (3-1) = 2 = 1,2 și 2 este răspunsul
când r = 7 factorul (7-1) = 6 = 2,3 și 3 este răspunsul
si asa mai departe…….
Explicaţie
luare
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-
Squaring ambele părți
= r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r- sqrt (r + …….. oo #
(r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Din nou Squaring ambele părți
(r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2-r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2-r) ^ 2-r + x = 0 #
punând r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2 - (m ^ 2-m + 1)) ^
dacă am pus x = m în LHS din această ecuație, LHS devine
LHS =
(m ^ 2-m + 1)) + 2 (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (anulați (m ^ 2) - anulați (m ^ 2) + m-1)
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
ecuația este satisfăcută.
Prin urmare, m este răspunsul
sa punem
# x = sqrt (7 + sqrt (7 sqrt (7 + sqrt (7 sqrt …. #
Putem vedea cu ușurință acest lucru
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Deci, să rezolvăm ecuația:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Aceasta nu este o ecuație trivială care trebuie rezolvată. Una dintre celelalte persoane care au răspuns la întrebare a adresat soluția 3. Dacă încercați, veți vedea că este adevărat.
