Care sunt punctele extreme și șa ale f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) pe intervalul x, y în [-pi, pi]?

Răspuns:

Explicaţie:

Noi avem:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Pasul 2 - Identificați punctele critice

Un punct critic apare la o soluție simultană de

# f_x = f_y = 0 dacă f (parțial f) / (parțial x) = (parțial f) / (parțial y) = 0 #

adică atunci când:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B): simultan

Luați în considerare ecuația A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Apoi avem două soluții:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin sin = 0 => y = 0, + - pi #

Acum, să folosim Eq B pentru a găsi coordonatele corespunzătoare:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# > 2y = + -pi, + - 2pi => y =

# y = 0, + - pi => x în RR # (jgheaburi)

Ceea ce ne dă următoarele puncte critice:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 puncte critice)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 puncte critice)

# (alfa, 0) AA alfa în RR # (linia de jgheab)

# (alfa, + -pi) AA alfa în RR # (2 linii de jgheab)

Luați în considerare ecuația B

# -6sinxsin2y = 0 #

Apoi avem două soluții:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Acum, permiteți-ne să folosim Eq A pentru a găsi coordonatele corespunzătoare @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (repetări de mai sus)

# y = 0 => x în RR # (repetarea de mai sus)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# (repetări de mai sus)

Ceea ce nu ne oferă noi puncte critice:

Pasul 3 - Clasificați punctele critice

Pentru a clasifica punctele critice se efectuează un test similar cu cel al unui calcul variabil folosind al doilea derivat parțial și matricea Hessian.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (parțial ^ 2 f) / (parțial x ^ 2), (parțial ^ 2f) / (parțial x parțial parțial y)),) / (parțial y ^ 2)) = f_ (xx) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Apoi, în funcție de valoarea lui # # Delta:

{Delta> 0, "Există o valoare maximă dacă" f_ (xx) <0), ("și minim dacă" f_ (xx)> 0)), (Delta = 0, "Este necesară o analiză suplimentară"):} #

Utilizând macro-urile personalizate Excel, valorile funcțiilor împreună cu valorile derivate parțiale sunt calculate după cum urmează:

Iată un plan al funcției

Și ploit cu punctele critice (și jgheaburi)

Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = x ^ 3y + 36x ^ 2 - 8y?

Vedeți răspunsul de mai jos: Credite: Vă mulțumim lui Graphing Calculator 3D (http://www.runiter.com/graphing-calculator/) care a furnizat software-ul pentru a compila funcția 3D cu rezultatele.

Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domeniul de definire a lui: f (x) = 2x ^ 2lnx este intervalul x in (0, + oo). Evaluați primul și al doilea derivat al funcției: (df) / dx = 4xlnx + 2x2 / x = 2x (1 + 2inx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 / x = 2 + 4inx + 4 = 6 + lnx Punctele critice sunt soluțiile de: f '(x) = 0 2x (1 + 2inx) = 0 și x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) În acest punct: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 astfel încât punctul critic este un minim local. Punctele șei sunt soluțiile de: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 și f '' (x) ) este concavă în jos pentru x <1 / e ^

Care sunt punctele extreme și șa ale f (x, y) = 6 sin x sin sin y pe intervalul x, y în [-pi, pi]?

X = pi / 2 și y = pi x = pi / 2 și y = -pi x = -pi / 2 și y = pi x = -pi / 2 și y = -pi x = pi și y = pi / 2 x = pi și y = -pi / 2 x = -pi și y = pi / 2 x = -pi și y = -pi / 2 Pentru a găsi punctele critice ale unei funcții 2 variabile, trebuie să calculați gradientul, este un vector care coincide cu derivații în raport cu fiecare variabilă: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Deci avem d / dx f (x, y) ) sin (y), și în mod similar d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Pentru a găsi punctele critice, gradientul trebuie să fie vectorul zero (0,0), ceea ce înseamnă rezolvarea sistemului {(6cos (x) sin (y) = 0), (6