Care este rădăcina de cub (sqrt3 -i)?

Aș începe prin transformarea numărului în formă trigonometrică:

# Z = sqrt (3) = 2 -i cos (pi / 6) + ISIN (pi / 6) #

Radacina cubului acestui număr poate fi scrisă ca:

# Z ^ (1/3) #

Acum, având în vedere acest lucru, folosesc formula pentru a noua putere a unui număr complex în formă trigonometrică:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + ISIN (ntheta) # oferind:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (pi / 6 * 1/3) + ISIN (pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (pi / 18) + ISIN (pi / 18) #

Ceea ce în dreptunghiular este: # # 4.2-0.7i

Nu pot fi de acord cu răspunsul lui Gió, deoarece este incomplet și, de asemenea, (în mod oficial) greșit.

Eroarea formală este în utilizarea Formula lui De Moivre cu exponenți non-intregi. Formula lui De Moivre poate fi aplicată numai exponenților întregi. Mai multe detalii despre aceasta pe pagina Wikipedia

Acolo veți găsi o extindere parțială a formulei, pentru a face față # N #- rădăcini (implică un extra-parametru # # K): dacă # z = r (cos theta + i sin theta) #, atunci

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Unde # k = 0, …, n-1 #.

Unul (și într-un anumit sens) Proprietatea foarte fundamentală a numerelor complexe este aceea # N #- rădăcinile au … # N # rădăcini (soluții)! Parametrul # # K (care variază între #0# și # N-1 #, asa de # N # valorile) le permite să le rezumăm într-o singură formulă.

Deci, rădăcinile cubului au trei soluții și găsirea doar a uneia nu este suficientă: este doar "#1/3# a soluției ".

Îmi voi scrie propunerea mea de soluție de mai jos. Comentariile sunt binevenite!

După cum a sugerat în mod corect Gió, primul pas este exprimarea # Z = sqrt {3} # -i în forma sa trigonometrică #r (pentru theta + i sin theta) #. Când se ocupă de rădăcini, forma trigonometrică este (aproape) întotdeauna un instrument util (împreună cu cel exponențial). Primesti:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi /

Asa de # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)

Acum doriți să calculați rădăcinile. Prin formula raportată mai sus, obținem:

1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi)

Unde # k = 0, 1, 2 #. Deci, există trei valori diferite # # K (#0#, #1# și #2#) care dau naștere la trei rădăcini complexe diferite # Z #:

(z) = 2 (1/3) (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3) (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) (cos (-11 / 18 pi) + i sin (-11 / 18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) (cos (-23 / 18 pi) + i sin (-23 / 18 pi)) #

# # Z_0, # # Z_1 și # # Z_2 sunt cele trei soluții.

Interpretarea geometrică a formulei pentru # N # rădăcini este foarte util pentru a desena soluțiile în planul complex. De asemenea, complotul arată foarte frumos proprietățile formulei.

În primul rând, putem observa că toate soluțiile au aceeași distanță # R ^ {1 / n} # (în exemplul nostru #2^{1/3}#) de la origine. Deci toți se află pe o circumferință de rază # R ^ {1 / n} #. Acum trebuie să subliniem Unde pentru a le plasa pe această circumferință. Putem rescrie argumentele sinusului și cosinusului în felul următor:

(t) / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)

Rădăcina "întâi" corespunde # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Toate celelalte rădăcini pot fi obținute prin adăugarea unghiului # (2pi) / n # recursiv la unghiul # Teta / n # față de prima rădăcină # # Z_0. Așa că ne mișcăm # # Z_0 pe circumferință printr - o rotație a # (2pi) / n # radiani (# (360 °) / n #). Deci, punctele sunt situate pe vârfurile unui obișnuit # N #-gon. Având unul dintre ei, îl putem găsi pe ceilalți.

În cazul nostru:

unde este unghiul albastru # Theta / n = pi / 18 # și magenta este # (2pi) / n = 2/3 pi #.