Care este vectorul unitar care este normal față de planul care conține (i + k) și (i - 2 j + 3 k)?

Răspuns:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)

Explicaţie:

Un vector care este normal (ortogonal, perpendicular) la un plan care conține doi vectori este de asemenea normal pentru ambii vectori dat. Putem găsi vectorul normal prin preluarea produsului încrucișat al celor două vectori dat. Apoi, putem găsi un vector unic în aceeași direcție ca vectorul respectiv.

Mai întâi, scrieți fiecare vector în formă vectorică:

# Veca = <1,0,1> #

# Vecb = <1, -2,3> #

Produsul încrucișat, # # Vecaxxvecb este găsit de:

# Vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (1,0,1), (1, -2,3)) #

Pentru eu componente, avem:

#(0*3)-(-2*1)=0-(-2)=2#

Pentru j componente, avem:

#-(1*3)-(1*1)=-3-1=-2#

Pentru k componente, avem:

#(1*-2)-(0*1)=-2-0=-2#

Prin urmare, # Vecn = <2, -2, -2> #

Acum, pentru a face acest vector unic, împărțim vectorul cu magnitudinea sa. Mărimea este dată de:

# | Vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | Vecn | = sqrt ((2) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (- 2) ^ 2) #

# | Vecn | = sqrt (4 + 4 + 4) = sqrt (12) = 2sqrt3 #

Vectorul unității este apoi dat de:

# Vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<2, -2, -2>) / (2sqrt (3)) #

# 2 (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3)), - 2 /

# Vecu = <1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3)> #

Prin raționalizarea numitorului obținem:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)