Aratati ca ecuatia x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 are exact o solutie la [0, 1]?

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Mai întâi de toate, să calculăm #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # la limita domeniului nostru:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Dacă calculăm derivatul

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Putem vedea că este întotdeauna pozitivă în #0,1#. De fapt, # X ^ 2 + 1 # este întotdeauna pozitivă și # # 4x este evident pozitiv, deoarece #X# este pozitiv.

Deci, funcția noastră începe sub #X# axa, deoarece #f (0) <0 #, și se termină deasupra #X# axa, deoarece #f (1)> 0 #. Funcția este un polinom, deci este continuă.

Dacă o linie continuă începe sub axă și se termină deasupra, înseamnă că trebuie să fi traversat-o undeva între ele. Iar faptul că derivatul este întotdeauna pozitiv înseamnă că funcția este întotdeauna în creștere, și astfel nu poate trece axa de două ori, de aici dovada.