Ce este seria Taylor de f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Să ne uităm la câteva detalii.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Amintiți-vă că seria de putere geometrică

# 1 / {1-x} = suma_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

prin înlocuire #X# de # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = suma_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = #

Asa de, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Prin integrarea, #f (x) = int suma_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

prin plasarea semnului integrat în sumare, # = suma_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

de către Power Rule, # = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

De cand #f (0) = arctan (0) = 0 #, f (0) = suma_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} /

Prin urmare, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #