O pereche de zaruri corecte cu șase fețe este aruncată de opt ori. Găsiți probabilitatea ca un scor mai mare de 7 să nu fie mai mare de cinci ori?

Răspuns:

#~=0.9391#

Explicaţie:

Înainte de a ajunge la întrebarea în sine, să vorbim despre metoda de rezolvare a acesteia.

Să spunem, de exemplu, că vreau să contabilizez toate rezultatele posibile din a răsturna o monedă echitabilă de trei ori. Pot să obțin HHH, TTT, TTH și HHT.

Probabilitatea lui H este #1/2# iar probabilitatea pentru T este de asemenea #1/2#.

Pentru HHH și pentru TTT, adică # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # fiecare.

Pentru TTH și HHT, este, de asemenea # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # fiecare, dar din moment ce există trei modalități prin care pot obține fiecare rezultat, acesta se încheie # 3xx1 / 8 = 3/8 # fiecare.

Când rezumă aceste rezultate, înțeleg #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - ceea ce înseamnă că am acum toate rezultatele posibile ale flip-ului flip-ului.

Observați că dacă am setat # H # a fi # P # și, prin urmare, au # T # fi # ~ P #și, de asemenea, observați că avem o linie din Triunghiul lui Pascal #(1,3,3,1)#, am creat o formă de:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

și astfel în acest exemplu, obținem:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Acum putem face problema.

Ne este dat numărul de roll-uri la 8, deci # N = 8 #.

# P # este suma mai mare decât 7. Pentru a găsi probabilitatea de a obține o sumă mai mare de 7, să aruncăm o privire asupra posibilelor rulouri:

# ((Culoare (alb) (0), UL1, UL2, ul3, ul4, UL5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Din 36 de posibilități, 15 role oferă o sumă mai mare de 36, dând o probabilitate de #15/36=5/12#.

Cu # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Putem scrie întreaga sumă de posibilități - de a obține toate cele 8 role să fie o sumă mai mare decât 7 până la obținerea celor 8 rulouri fiind o sumă de 7 sau mai mică:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

dar suntem interesați să rezumăm numai acei termeni care au o sumă mai mare de 7 care se întâmplă de 5 ori sau mai puțin:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Răspuns:

#0.93906#

Explicaţie:

# "Deci P rezultatul> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "apare k ori pe 8 aruncări" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k)

#"(distribuție binomială)"#

# "cu" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(combinații)

#"Asa de, "#

#P "apare de cel mult 5 ori pe 8 aruncări" #

# = 1 - P "apare 6, 7 sau 8 ori pe 8 aruncări" #

(7/12) - (5/12) ^ (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#