Răspuns:
Consultați explicația
Explicaţie:
Este ușor să vezi asta
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Prin urmare, avem asta # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 sau x =
Fiți conștienți de rădăcini # X_1 = 3, x_2 = -3 # au multiplicitatea de #2#
pentru că avem un polinom de gradul al patrulea.
Răspuns:
# x = + -3 #
Explicaţie:
În mod normal, pentru a rezolva un polinom de gradul 4 ca cel de aici, trebuie să faceți diviziunea sintetică și să utilizați o mulțime de teoreme și reguli - devine cam murdar. Cu toate acestea, aceasta este specială deoarece putem să o facem de fapt o ecuație patratică.
Facem asta prin închiriere #u = x ^ 2 #. Nu vă faceți griji în cazul în care # U # vin de la; este doar ceva pe care îl folosim pentru a simplifica problema. Cu #u = x ^ 2 #, problema devine
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Nu arata mai bine? Acum avem de-a face cu o ecuație quadratică frumoasă și ușoară. De fapt, acesta este un patrat perfect; cu alte cuvinte, atunci când o faci, vei obține # (U-9) ^ 2 #. Desigur, am putea folosi formula brută sau completarea pătratului pentru a rezolva această ecuație, dar de obicei nu sunteți suficient de norocoși pentru a avea un patrat perfect pătrat - deci profitați. În acest moment, avem:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Pentru a rezolva, luăm rădăcina pătrată a ambelor părți:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
Și asta simplifică
# u-9 = 0 #
În cele din urmă, adăugăm 9 pentru ambele părți
#u = 9 #
Minunat! Aproape acolo. Cu toate acestea, problema noastră inițială a avut #X#s în ea și răspunsul nostru are o # U # în ea. Trebuie să convertim #u = 9 # în #x = # ceva. Dar nu te teme! Amintiți-vă la început am spus să lăsați #u = x ^ 2 #? Ei bine, acum avem noi # U #, doar îl conectăm înapoi pentru a ne găsi #X#. Asa de, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
# x = + -3 # (deoarece #(-3)^2 = 9# și #(3)^2 = 9#)
Prin urmare, soluțiile noastre sunt # x = 3 # și # x = -3 #. Rețineți că # x = 3 # și # x = -3 # sunt rădăcini duble, deci din punct de vedere tehnic, toate rădăcinile sunt # x = 3 #, # x = 3 #, # x = -3 #, # x = -3 #.
