Ce distractiv, util, matematic știți că nu este predat în mod obișnuit la școală?

Răspuns:

Cum se evaluează "turnurile exponenților", cum ar fi #2^(2^(2^2))#, și cum să elaboreze ultima cifră din # 2 ^ n, # # # NinNN.

Explicaţie:

Pentru a evalua aceste "turnuri", începem la vârf și lucrăm în jos.

Asa de:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Pe o notă similară, dar puțin legată, știu și cum să scot ultimele cifre #2# ridicată la orice exponent natural. Ultima cifră din #2# ridicate la ceva întotdeauna cicluri între patru valori: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Deci, dacă doriți să găsiți ultima cifră # 2 ^ n #, găsiți locul în care se află în ciclu și veți ști ultima cifră.

Răspuns:

Dacă #n> 0 # și #A# este o aproximare la #sqrt (n) #, atunci:

(2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

Unde #b = n-a ^ 2 #

Explicaţie:

Să presupunem că vrem să găsim rădăcina pătrată a unui număr #n> 0 #.

Mai mult, dorim ca rezultatul să fie un fel de fracțiune continuă care se repetă la fiecare pas.

Încerca:

(2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

(2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

#color (alb) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)

Scădea #A# de la ambele capete pentru a obține:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multiplicați ambele părți prin #sqrt (n) + un # a obține:

# sq = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Astfel, dacă # A ^ 2 # este puțin mai puțin decât # N #, atunci # B # vor fi mici, iar fracția continuă se va converti mai repede.

De exemplu, dacă avem # # N = 28 și alegeți # A = 5 #, atunci primim:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Asa de:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 /

care ne oferă aproximări:

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~ ~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~

Un calculator îmi spune #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Deci, acest lucru nu converge foarte rapid.

Alternativ, am putea pune # # N = 28 și # A = 127/24 # a găsi:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 =

Asa de:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12 -…)

oferindu-ne aproximări:

#sqrt (28) ~ ~ 127/24 = 5,291 bar (6) #

#sqrt (28) ~ ~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~ ~ 5.29150262467 #

Asta converg mult mai repede.

Răspuns:

Puteți găsi aproximări ale rădăcinilor pătrate utilizând o secvență definită recursiv.

Explicaţie:

#culoare albă)()#

Metoda

Având un număr întreg pozitiv # N # care nu este un patrat perfect:

• Lăsa #p = etaj (sqrt (n)) # fi cel mai mare număr întreg pozitiv al cărui pătrat nu depășește # N #.

• Lăsa #q = n-p ^ 2 #

• Definiți o secvență de numere întregi prin:

  ################################################ #

Apoi, raportul dintre termenii succesivi ai secvenței va avea tendința spre # P + sqrt (n) #

#culoare albă)()#

Exemplu

Lăsa # N = 7 #.

Atunci #p = etaj (sqrt (7)) = 2 #, de cand #2^2=4 < 7# dar #3^2 = 9 > 7#.

Atunci # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Așa începe secvența noastră:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

În teorie, raportul dintre termeni consecutivi trebuie să tindă spre # 2 + sqrt (7) #

Sa vedem:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Rețineți că # 2 + sqrt (7) ~ ~ 4.645751311 #

#culoare albă)()#

Cum functioneaza

Să presupunem că avem o secvență definită de valorile date de # a_1, a_2 # și o regulă:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

pentru unele constante # P # și # Q #.

Luați în considerare ecuația:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Rădăcinile acestei ecuații sunt:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Apoi, orice secvență cu termen general # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # va respecta regula de recurență pe care am specificat-o.

Următoarea soluție:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):}

pentru #A# și # B #.

Găsim:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

și, prin urmare:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Deci, cu aceste valori ale # x_1, x_2, A, B # noi avem:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Dacă #q <3p ^ 2 # atunci #abs (x_2) <1 # iar raportul dintre termenii succesivi va tinde spre # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Răspuns:

Diviziunea modulară

Explicaţie:

Divizarea modulară este la fel ca diviziunea, cu excepția faptului că răspunsul este restul în locul valorii reale. Mai degrabă decât #-:# simbol, utilizați #%# simbol.

De exemplu, de obicei, dacă ați fi de rezolvat #16-:5# veți obține #3# rest #1# sau #3.2#. Cu toate acestea, folosind diviziunea modulară, #16%5=1#.

Răspuns:

Evaluarea pătratelor cu sumare

Explicaţie:

În mod normal, ar trebui să știți pătrate, cum ar fi #5^2=25#. Cu toate acestea, atunci când cifrele devin mai mari, cum ar fi #25^2#, devine mai greu să știi din capul tău.

Mi-am dat seama că după un timp, pătratele sunt doar sume de numere impare.

Ceea ce vreau sa spun este:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # Unde # # K este valoarea de bază minus #1#

Asa de #5^2# poate fi scrisă ca:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Acest lucru vă va oferi:

#1+3+5+7+9#

Aceasta, de fapt, este #25#.

Din moment ce numerele sunt mereu incrementante #2#, Aș putea adăuga primul și ultimul număr și apoi să le multipl # K / 2 #.

Prin urmare #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Așa că pot să fac #(49+1)(25/2)# si ia #25^2# care este #625#.

Nu este practic, dar este interesant să știi.

#culoare albă)()#

Primă

Știind că:

# n ^ 2 = suprapusă (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) "n termeni" = ((1+ (2n-1)

ne permite să rezolvăm unele probleme legate de diferențele de pătrate.

De exemplu, care sunt toate soluțiile în numere întregi pozitive #m, n # de # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Acest lucru se reduce la găsirea sumelor de numere consecutive impare #40#…

# 40 = suprapusă (19 + 21) ^ "medie 20" #

#color (alb) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (alb) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2)

#color (alb) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = suprapusă (7 + 9 + 11 + 13) ^ "medie 10" #

#color (alb) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (alb) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2)

#color (alb) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #