Integrarea lui 1 / (1 + x ^ 3) dx?

Răspuns:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Explicaţie:

Începeți prin factorizarea numitorului:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Acum putem face fracțiuni parțiale:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #

Noi putem gasi #A# folosind metoda de acoperire:

# A = 1 / ((text (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) =: 1/3 #

În continuare, putem multiplica ambele părți prin numitorul LHS:

# 1 = 1/3 (x ^ 2 x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3), #

Aceasta oferă următoarele ecuații:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C +: 1/3 = 1-> C = de 2/3 #

Aceasta înseamnă că putem rescrie integralul original:

(x + 2) + (x + 2) + dx = 1 / 3int 1 /

Primul integral poate fi făcut folosind o substituție explicită u, dar este destul de clar că răspunsul este #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1)

Putem împărți integralele rămase în două:

nx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx =

# X = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int

Motivul trădării prin înmulțirea și împărțirea prin #2# este de a face numitorul mâinii stângi mai ușor de utilizat u-substituție pe.

Voi numi integratul stâng Integral 1 și Integral integral integrat 2

Integral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Deoarece am pregătit deja acest integral pentru înlocuire, tot ce trebuie să facem este să înlocuiască # U = x ^ 2-x + 1 #, iar derivatul este # 2x-1 #, deci ne împărțim prin faptul că să se integreze cu respect # U #:

#int anulează (2x-1) / (anulați (2x-1) * u) du = int

Integral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Vrem să obținem acest integral în forma:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Pentru a face acest lucru, trebuie să completați pătratul pentru numitor:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

(X-2 / x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4)

Vrem să introducem o substituție u astfel încât:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# x-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u + 1 / -2 #

Înmulțim cu derivatul cu privire la # U # să se integreze cu privire la # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 /

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Finalizarea integralului original

Acum, când știm răspunsul la Integral 1 și Integral 2, le putem conecta înapoi la expresia originală pentru a obține răspunsul nostru final:

#: 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #

Răspuns:

3arctan # 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / ((2x-1) / sqrt3) + C #

Explicaţie:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1)-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1)

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1)

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^

=# 1 / 3in (x + 1) + C-1/6 int (2x4) / (x ^ 2-x + 1)

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2 x + 1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2 x + 1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2 x + 1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=3arctan # 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / ((2x-1) / sqrt3) + C #