Ce este -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) egal?

Răspuns:

Problema insolvabilă

Explicaţie:

Nu există arce cu care cosinusul lor este egal cu 2 și 3.

Din punct de vedere analitic, # # Arccos funcția este definită numai pe #-1,1# asa de #arccos (2) # & #arccos (3) # nu există.

Răspuns:

Adevărat # # cos și #păcat# acest lucru nu are soluții, dar ca funcții ale numerelor complexe găsim:

# 3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Explicaţie:

În calitate de valori reale ale valorilor reale ale #X#, funcțiile #cos (x) # și #sin (x) # să ia doar valori în domeniu #-1, 1#, asa de #arccos (2) # și #arccos (3) # sunt nedefinite.

Cu toate acestea, este posibilă extinderea definiției acestor funcții la funcții complexe #cos (z) # și #sin (z) # după cum urmează:

Incepand cu:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

putem deduce:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

De aici putem defini:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (iz)) / (2i) #

pentru orice număr complex # Z #.

Este posibil să găsiți mai multe valori ale # Z # care satisface #cos (z) = 2 # sau #cos (z) = 3 #, astfel încât ar putea exista unele opțiuni care trebuie făcute pentru a defini valoarea principală #arccos (2) # sau #arccos (3) #.

Pentru a găsi candidați potriviți, rezolvați # (e ^ (iz) + e ^ (iz)) / 2 = 2 #, etc.

Cu toate acestea, rețineți că identitatea # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # deține pentru orice număr complex # Z #, astfel încât să putem deduce:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3)

Sper că este posibil să se definească valoarea principală într-un mod care să fie #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # Decat # -sqrt (3) i #.

In orice caz, #cos (arccos (3)) = 3 # prin definitie.

Cu toate acestea, găsim:

# 3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #