Cunoașterea formulei la suma numerelor întregi a) care este suma primelor N întregi pătrați consecutivi, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdot + ) ^ 2 + N ^ 2? b) Suma primelor N cuburi consecutive întregi Sigma_ (k = 1) ^ N k ^

Răspuns:

Pentru #S_k (n) = sumă {i = 0} ^ n i ^ k #

# S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 #

# S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2n) #

# S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 #

Explicaţie:

Noi avem

(i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 #

i = 0} ^ ni ^ 3 = suma_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ n - (n + 1) ^ 3 #

(N + 1) ^ 3 = {n = 1} n = 1 (n + 1)

rezolvarea pentru #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 #

(n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ n i #

dar #sum_ {i = 0} ^ n = ((n + 1) n) / 2 # asa de

(n + 1) / 3 - (n + 1) / 3 - ((n + 1) n)

(1 + 2 n) (1 + 2 n)

Folosind aceeași procedură pentru #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 #

(i + 1) ^ 4 - (n + 1) ^ 4 #

#ium_ {i = 0} ^ ni ^ 4 = suma_ {i = 0} ^ ni ^ 4 + 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4sum_ {i = 0 } ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 4 #

(N + 1) ^ 0 ^ i ^ 0 ^ i ^ 0 ^ i ^ i ^ i ^ 4 #

# 0 = 4S_3 (n) + 6S2 (n) + 4S_1 (n) + (n + 1)

Rezolvarea pentru # S_3 (n) #

# S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 #

Aici #S_k (n) = sumă {i = 0} ^ n i ^ k #