Care este forma standard a ecuației unui cerc care trece prin (0, -14), (-12, -14) și (0,0)?

Răspuns:

Un cerc de rază #sqrt (85) # și centru #(-6,-7)#

Etalonul standard al formularului este: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Sau, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Explicaţie:

Ecuația carteziană a unui cerc cu centru # (A, b) # și raza # R # este:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Dacă cercul trece prin (0, -14) atunci:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Dacă cercul trece prin (0, -14) atunci:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Dacă cercul trece prin (0,0) atunci:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Acum avem 3 ecuații în 3 necunoscute

Eq 2 - Eq 1 dă:

# (12 + a) ^ 2-a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

subs # A = 6 # în Eq 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

subs # A = 6 # și # R ^ 2 = 36 + b ^ 2 #în Eq 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

Și în sfârșit, Subs # B = -7 # în Eq 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

Și așa este ecuația cercului

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Care reprezintă un cerc de rază #sqrt (85) # și centru #(-6,-7)#

Putem multiplica dacă este necesar pentru a obține:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #