Cum scrieți descompunerea fracției parțiale a expresiei raționale (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Răspuns:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Explicaţie:

Pentru a scrie expresia dată în fracțiuni parțiale, ne gândim la factorizarea numitorului.

Să numerem numitorul

#color (albastru) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Culoare (albastru) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = Culoare (albastru) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Aplicarea identității polinomilor:

#color (portocaliu) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

noi avem:

#color (albastru) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Culoare (albastru) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Culoare (albastru) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Să descompunem expresia rațională prin găsirea # A, B și C #

#color (maro) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = culoare (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x +2)) #

#color (maro) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Culoare (maro) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) / (x + 1)) # (x-1))

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2x-2x +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = Culoare (maro) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = Culoare (maro) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = culoare (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Atunci, #rArrcolor (maro) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = culoare (verde) (3x) #

Avem un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute # A, B și C #

# A + B + C = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # EQ2

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

Începând să rezolve sistemul

EQ2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (roșu) (B = -3-3C) #

substituind # B # în eq1 avem:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (roșu) (A = 3 + 2C) #

substituind #B și C #în eq3 avem:

# -A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (culoare (roșu) (3 + 2C)) - 2 (culoare (roșu) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# RArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RArr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (roșu) (C = -1 / 2) #

#color (roșu) (B = -3-3C) = - 3-3color (roșu) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (roșu) (B = -3/2 #

#color (roșu) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (roșu) (A = 2) #

Să înlocuim valorile:

#color (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = culoare (maro) (culoare (roșu) 2 / (x-2) + (culoare (roșu) (- 3 / 2)) / (x-1) + culoare (roșu) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Prin urmare, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #