Răspuns:
Vezi explicația …
Explicaţie:
Dacă # P = q = r # atunci:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Deci, orice zerouri pe care le au vor fi în comun.
Rețineți că aceste condiții nu sunt necesare.
De exemplu, dacă # P = 0 #, #q! = 0 # și #r! = 0 # atunci:
# Px ^ 2 + qx + r = 0 # are rădăcină # X = -r / q #
# Qx ^ 2 + rx + p = 0 # are rădăcini # X = -r / q # și # X = 0 #
Deci cele două ecuații au o rădăcină în comun, dar #P! = q # și nu ne cerem # P + q + r = 0 #.
Răspuns:
Vedeți mai jos.
Explicaţie:
La fel de # Px ^ 2 + qx + r = 0 # și # Qx ^ 2 + rx + p = 0 # au rădăcină comună, lăsați această rădăcină să fie #alfa#. Atunci
# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # și # Qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
și, prin urmare # Alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
și # Alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # și # Alfa ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
adică # (Qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
sau # (Qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
sau # Q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
sau # P ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # și împărțirea prin # P #
sau # P ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
adică # (P + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
De aici, oricum # P + q + r = 0 # sau # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Observați asta ca # Alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# Alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
si daca # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, noi avem # Alfa ^ 2 + alfa + 1 = 0 # adică # P = q = r #
