Un corp a fost găsit la ora 10 dimineața într-un depozit unde temperatura era de 40 ° F. Examinatorul medical a descoperit că temperatura corpului este de 80 ° F. Care era timpul aproximativ al morții?

Răspuns:

Durata aproximativă a morții este #8:02:24# a.m.

Este important să rețineți că aceasta este temperatura pielii a corpului. Examinatorul medical ar măsura temperatura internă care ar scădea mult mai lent.

Explicaţie:

Legea de răcire a lui Newton afirmă că rata de schimbare a temperaturii este proporțională cu diferența față de temperatura ambiantă. Ie

# (dT) / (dt) Prop T - T_0 #

Dacă #T> T_0 # atunci organismul ar trebui să se răcească astfel încât derivatul să fie negativ, prin urmare, introducem constantitatea proporționalității și ajungem la

# (dT) / (dt) = -k (T-T_0) #

Înmulțirea cadrului și schimbarea chestiilor despre noi ne face:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Poate acum să utilizeze metoda factorului de integrare pentru rezolvarea ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Multiplicați ambele părți prin #Tocmai (x) # a obține

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Observați că prin utilizarea regulii de produs putem rescrie LHS, lăsând:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrați ambele părți wrt la # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Împarte la # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Temperatura medie a corpului uman este # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98,6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Lăsa # # T_f fie momentul în care se găsește corpul.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#in (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 ore #

Deci, din momentul morții, presupunând că corpul a început imediat să se răcească, a durat 1,96 ore până la 80 ° F, moment în care a fost găsit.

# 1.96hr = 117.6min #

Durata aproximativă a morții este #8:02:24# a.m