Raza unui balon sferic crește cu o rată de 2 centimetri pe minut. Cât de rapid este schimbarea volumului atunci când raza este de 14 centimetri?

Răspuns:

# 1568 * pi # cc / minut

Explicaţie:

Dacă raza este r, atunci rata de schimbare a lui r în raport cu timpul t, # d / dt (r) = 2 # cm / minut

Volumul în funcție de raza r pentru un obiect sferic este

#V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Trebuie să găsim # D / dt (V) # la r = 14 cm

Acum, # d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * dt (r) #

Dar # D / dt (r) # = 2 cm / minut. Prin urmare, # D / dt (V) # la r = 14 cm este:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # cmc / minut cubic # = 1,568 * pi # cc / minut

Raza unui balon sferic crește cu 5 cm / sec. La ce rată este aerul suflat în balon în momentul în care raza este de 13 cm?

Aceasta este o problemă asociată (de schimbare). Viteza la care este suflat aerul va fi măsurată în volum pe unitate de timp. Aceasta este o rată de schimbare a volumului în funcție de timp. Viteza la care este suflat aerul este aceeași cu rata la care volumul balonului crește. V = 4/3 pi r ^ 3 Știm (dr) / (dt) = 5 "cm / sec". Vrem (dV) / (dt) când r = 13 "cm". Diferențiată V = 4/3 pi r ^ 3 implicit față de td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Conectați ceea ce cunoașteți și rezolvați pentru ceea ce nu știți. (dV) / (dt) = 4 pi (13 cm cm2) (5

Volumul unui cilindru cu înălțime fixă variază în proporție directă cu pătratul razei de bază. Cum găsiți schimbarea volumului atunci când raza de bază este mărită cu 18%?

Volumul crește cu 39.24% Deoarece volumul unui cilindru, V, de înălțime fixă, variază în proporție directă cu pătratul razei de bază, spunem r, putem scrie relația ca Vpropr ^ 2 și cu r crește cu 18% adică crește de la r la 118 / 100r sau 1.18r, Volumul va crește cu (1.18r) ^ 2 = 1.3924r ^ 2 și, prin urmare, volumul va crește cu 39.24%

Dacă raza unei sfere crește cu o rată de 4 cm pe secundă, cât de rapid este creșterea volumului când diametrul este de 80 cm?

12,800cm3s Aceasta este o problemă clasică legate de Rata. Ideea din spatele ratelor corelate este că aveți un model geometric care nu se schimbă, chiar și atunci când cifrele se schimbă. De exemplu, această formă va rămâne o sferă chiar și atunci când se va schimba dimensiunea. Relația dintre volumul unui loc și raza lui este V = 4 / 3pir ^ 3 Atâta timp cât această relație geometrică nu se schimbă odată cu creșterea sferei, putem deduce implicit această relație și găsim o nouă relație între ratele de schimbare . Diferențierea implicită este locul unde derivăm fiecare variabilă din formulă, ia