Care este timpul de înjumătățire (Na ^ 24) dacă un asistent de cercetare a făcut 160 mg de sodiu radioactiv (Na ^ 24) și a constatat că au rămas doar 20 mg după 45 de ore?

Răspuns:

#color (albastru) ("Timpul de înjumătățire este de 15 ore.") #

Explicaţie:

Trebuie să găsim o ecuație de formă:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Unde:

#BB (A (t)) = # suma după timpul t.

#BB (A (0) = # suma la început. adică t = 0.

# Bbk = # factorul de creștere / decădere.

# Bbe = # Numărul lui Euler.

# BBT = # timp, în acest caz ore.

Ne este dat:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Trebuie să rezolvăm # # BBK:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Împărțiți cu 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Luarea logaritmilor naturali de ambele părți:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

De aici:

#ln (1/8) = 45k #

Împărțirea cu 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Deoarece, prin definiție, timpul de înjumătățire este perioada de timp în care avem jumătate din cantitatea de pornire:

#A (t) = 80 #

Așa că trebuie să rezolvăm pentru:

# = 160 * 80 (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1. / 2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Luarea logaritmilor naturali:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Timpul de înjumătățire este de 15 ore.

Răspuns:

15 ore

Explicaţie:

Căi rapide

Deoarece cantitatea de substanță care se descompune se înjumătățește fiecare timpul de înjumătățire (din acest motiv numele), înjumătățirea cantității în pași necesită 3 pași pentru a obține de la 160 la 20:

# 160 la 80 la 40 la 20 #

Și #45 = 3 * 15#

Deci, timpul de înjumătățire este de 15 ani.

Un mod mai formal

Timpul de înjumătățire # # Tau, Unde # X (t) # este cantitatea (masa / numărul de particule / etc) rămasă la momentul t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad pătrat #

Asa de:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Conectarea valorilor care sunt date în #pătrat#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 implică tau = 15 #

Timpul de înjumătățire al unui anumit material radioactiv este de 75 de zile. O cantitate inițială de material are o masă de 381 kg. Cum scrieți o funcție exponențială care modelează degradarea acestui material și cât de mult rămâne materialul radioactiv după 15 zile?

Timpul de înjumătățire: y = x * (1/2) ^ t cu x ca suma inițială, t ca "timp" / "jumătate de viață" și y ca suma finală. Pentru a găsi răspunsul, introduceți formula: y = 381 * (1/2) ^ (15/75) => y = 381 * 0.87055056329 => y = 331.679764616 Răspunsul este de aproximativ 331.68

Timpul de înjumătățire al unui anumit material radioactiv este de 85 de zile. O cantitate inițială de material are o masă de 801 kg. Cum scrieți o funcție exponențială care modelează degradarea acestui material și cât de mult rămâne materialul radioactiv după 10 zile?

Fie m_0 = "masa inițială" = 801kg "la" t = 0 m (t) = "masa la momentul t" "Funcția exponențială", m (t) "unde" k = "constant" "jumătate de viață" = 85days => m (85) = m_0 / 2 Acum când t = 85days atunci m (85) = m_0 * e ^ (1/8) = 2 (- 1/85) Punând valoarea m_0 și e ^ k în (1) obținem m (t) = 801 * 2 ^ (- t / 85) Aceasta este funcția care poate fi scrisă și în formă exponențială ca m (t) = 801 * e ^ (- (tlog2) / 85) 10 zile vor fi m (10) = 801 * 2 ^ (- 10/85) kg = 738,3 kg

Un asistent de cercetare a realizat 160 mg de sodiu radioactiv (Na ^ 24) și a constatat că au rămas numai 20 mg după 45 de ore, cât de mult 20 mg inițial ar fi lăsat în 12 ore?

= 11.49 mg va fi lăsat Să rata de degradare fi x pe oră Deci putem scrie 160 (x) ^ 45 = 20 sau x ^ 45 = 20/160 sau x ^ 45 = 1/8 sau x = root45 ) sau x = 0.955 În mod similar după 12 ore 20 (0.955) ^ 12 = 20 (0.57) = 11.49 mg vor fi lăsate