Cum găsiți valorile absolute minime absolute și absolute ale lui f pe intervalul dat: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) pe [-1, 5]?

Răspuns:

Reqd. sunt valori extreme # -25 / 2 și 25/2 #.

Explicaţie:

Noi folosim substituția # t = 5sinx, t în -1,5 #.

Observați că această substituire este permisă, deoarece, # t în -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, care deține bine, ca gamă de #păcat# distracţie. este #-1,1#.

Acum, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

De cand, # -1 <sin2x <= 1 rArr -25 / 2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25 / 2 <= f (t) <= 25/2 #

Prin urmare, reqd. extremitățile sunt # -25 / 2 și 25/2 #.

Răspuns:

Găsiți monotonia funcției de la semnul derivatului și decideți ce maxime / minime locale sunt cele mai mari, mai mici.

Absolut maxim este:

#f (3.536) = 12,5 #

Absolut minim este:

#f (-1) = - 4.899 #

Explicaţie:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Derivatul funcției:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Numerotatorul are două soluții:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3.536 #

  Prin urmare, numitorul este:

  Negativ pentru #t în (-oo, -3,536) uu (3,536, + oo) #

  Pozitive pentru #t în (-3.536,3.536) #

• Numitorul este întotdeauna pozitiv în # RR #, deoarece este o rădăcină pătrată.

  În cele din urmă, intervalul dat este #-1,5#

Prin urmare, derivatul funcției este:

- Negativ pentru #t în -1,3,536) #

- Positive pentru #t în (3.536,5) #

Aceasta înseamnă că graficul se ridică în primul rând de la #f (-1) # la #f (3.536) # și apoi se duce la #f (5) #. Asta face #f (3.536) # valoarea maximă absolută și cea mai mare valoare din #f (-1) # și #f (5) # este minimul absolut.

Este absolut maxim #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

Pentru maximul absolut:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Prin urmare, #f (-1) = - 4.899 # este minimul absolut.

Puteți observa din graficul de mai jos că este adevărat. Doar ignorați zona din stânga #-1# deoarece este în afara domeniului:

grafic {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}