Cum se rezolvă pentru intexxcosxdx?

Răspuns:

#int e ^ cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)

Explicaţie:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Vom folosi integrarea prin părți, ceea ce afirmă acest lucru #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Utilizați integrarea prin părți, cu # U = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, și # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Utilizați integrarea prin intermediul pieselor din nou la cel de-al doilea integral, cu # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = păcat (x) "d" x #, și # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x)

Acum, amintiți-am definit # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Astfel, ecuația de mai sus devine următoarea (amintindu-se să adăugăm o constantă a integrării):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Folosind identitatea lui de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # noi avem

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^

dar (1 + i) x = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

= (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx)

și, în sfârșit

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #