Cum de a rezolva cu integrarea?

Răspuns:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# „Zona“ = 117/4 #

Explicaţie:

Q este interceptul x al liniei # 2x + y = 15 #

Pentru a găsi acest punct, lăsați # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15/2 #

Asa de # Q = (15 / 2,0) #

P este un punct de interceptare între curbă și linie.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# în #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # sau # X = 3 #

Din grafic, coordonata x a lui P este pozitivă, deci putem respinge # x = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

grafic {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Acum pentru zonă

Pentru a găsi suprafața totală a acestei regiuni, găsim două zone și le putem adăuga împreună.

Acestea vor fi zonele sub # Y = x ^ 2 # de la 0 la 3, iar zona de sub linia de la 3 la 15/2.

# "Zonă sub curbă" = int_0 ^ 3x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Putem realiza zona liniei prin integrare, dar este mai ușor să o tratăm ca un triunghi.

# "Aria sub linie" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#: "suprafața totală a regiunii umbrită" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Răspuns:

Pentru 3 și 4

Tom a făcut 10

Explicaţie:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int1 ^ 5f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3)

#:. (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Răspuns:

Vezi mai jos:

Avertisment: Răspuns lung!

Explicaţie:

Pentru (3):

Utilizarea proprietății:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

De aici:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1f (x) dx + int_1 ^ 5f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Pentru (4):

(același lucru)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

(x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_2 ^ 3 f (x) dx #

Cu toate acestea, trebuie să schimbăm limitele integrate, astfel:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Asa de:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Pentru 10 (a):

Avem două funcții care intersectează # P #, deci la # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(Am transformat funcția de linie în forma de intersecție cu panta)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

Asa de # X = 3 # ca noi în dreapta # Y # axă, deci #X> 0 #.

(introducerea # X = 3 # în oricare dintre funcții)

# Y = -2x + 15 #

# Y = -2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Deci, coordonatele lui # P # este #(3,9)#

Pentru # Q #, linia # Y = -2x + 15 # taie # Y #- Da, așa # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7.5 #

Asa de # Q # este situat la #(7.5, 0)#

Pentru 10 (b).

Voi construi două integrale pentru a găsi zona. Voi rezolva integralele separat.

Zona este:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Qf (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15)

(Rezolvați primul integral)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3

(înlocuiți limitele în expresia integrată, rețineți:

Limita inferioară superioară pentru a găsi valoarea integrală)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(rezolvarea celui de-al doilea integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (2x2) / 2 + 15x

(limite de substituție: superior-inferior)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15)

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #