Care este distanța dintre (0, 0, 8) și (9, 2, 0)?

Răspuns:

Distanța este #sqrt (149) #

Explicaţie:

Distanța dintre două puncte

# (x_1, y_1, z_1) #

și

# (x_2, y_2, z_2) #

în # RR ^ 3 # (trei dimensiuni) este dat de

"distanta" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2)

Aplicând-o la problema la îndemână, ajungem la distanța dintre #(0, 0, 8)# și #(9, 2, 0)# la fel de

"distanța" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64)

Următoarea este o explicație cu privire la locul de proveniență al formulei de distanță și nu este necesară pentru înțelegerea soluției de mai sus.

Formula de distanță dată mai sus pare suspicios similară cu formula de distanță din # RR ^ 2 # (două dimensiuni):

# "distanța" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

care vine dintr-o simplă aplicare a teoremei Pitagora, prin trasarea unui triunghi drept între două puncte cu picioarele paralele cu #X# și # Y # axe.

Se pare că # RR ^ 3 # versiunea poate fi derivată într-un mod similar. Dacă folosim (cel mult) 3 linii pentru a conecta două puncte, mergând paralel cu #X#, # Y #, și # Z # axe, primim o cutie cu punctele drept colturi opuse. Deci, hai să ne dăm seama cum se calculează distanța pe diagonala unei cutii.

Încercăm să aflăm lungimea liniei roșii #color (roșu) (AD) #

Deoarece aceasta este hypotenuse a triunghiului # # ABD, din teorema lui Pitagora:

# (culoare (roșu) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 +

"(i)" # => culoare (roșu) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 +

Din păcate, nu avem lungimea #color (albastru) (BD) # ca dată. Pentru ao obține, trebuie să aplicăm din nou teorema lui Pitagora, de data aceasta triunghiului # # BCD.

# (color) (albastru) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD)

Întrucât avem nevoie doar de pătratul #color (albastru) (BD) #, putem înlocui acum # ("Ii") # în # ("I") #:

#color (roșu) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

În cele din urmă, dacă avem #A# la # (x_1, y_1, z_1) # și # D # la # (x_2, y_2, z_2) #, atunci avem lungimea

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Înlocuirea acestora în cele de mai sus ne dă rezultatul dorit.

Ca o notă suplimentară, în timp ce putem face cu ușurință dovezi geometrice în până la 3 dimensiuni, matematicienii au distanța generalizată în # RR ^ n # (# N # dimensiuni). Distanța dintre

# (x_1, x_2, …, x_n) # și # (y_1, y_2, …, y_n) # este definit ca

#sqrt (suma_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

care se potrivește cu modelul de la # RR ^ 2 # și # RR ^ 3 #.