Noi avem: {1,2,3} -> {1,2} și g: {1,2,3} -> {1,2,3,4} .Cum există multe funcții injectabile f și g?

Răspuns:

# F # nu poate fi injectiv.

# G # pot fi injectabile #24# moduri.

Explicaţie:

O funcție este injectivă dacă nici două intrări nu oferă aceeași ieșire. Cu alte cuvinte, ceva de genul

#f (x) = f (y), quad x ne y #

nu se poate întâmpla.

Aceasta înseamnă că, în cazul domeniului finit și codomain, o funcție poate fi injectivă dacă și numai dacă domeniul este mai mic decât codomainul (sau, cel mult, egal), în termeni de cardinalitate.

De-aceea # F # nu poate fi niciodată injector. De fapt, poți rezolva #f (1) # cum doriți. Spune #f (1) = 1 #, de exemplu. Când alegi #f (2) #, nu mai putem spune asta #f (2) = 1 #, sau # F # nu ar fi injectiv. Dar când vine vorba #f (3) # nu avem de ales, dacă spunem #f (3) = 1 # noi avem #f (1) = f (3) #, și dacă spunem #f (3) = 2 # noi avem #f (2) = f (3) #.

Cu alte cuvinte, trebuie să găsim una dintre cele două posibile ieșiri pentru fiecare din cele trei intrări. Ar trebui să fie evident că intrările nu pot furniza rezultate diferite.

Pe de altă parte # G # poate fi injectiv, deoarece există "spațiu suficient": fiecare dintre cele trei intrări poate alege una dintre cele patru ieșiri astfel încât să nu se obțină aceeași ieșire din alte intrări.

Dar în câte moduri? Să presupunem că vom începe din nou #f (1) #. Putem alege oricare dintre cele patru opțiuni pentru această intrare, astfel încât să putem alege #f (1) # în patru moduri.

Cand vine vorba de #f (2) #, pierdem libertate: putem să atribuim orice valoare #f (2) #, cu excepția celei la care ne-am alocat #f (1) #, așa că am rămas cu două opțiuni. De exemplu, dacă am repara #f (1) = 2 #, atunci #f (2) # poate fi fie #1#, #3# sau #4#.

Prin aceeași logică avem două opțiuni #f (3) #: din cele patru opțiuni posibile, excludem pe cei deja alocați #f (1) # și #f (3) #.

Deci, putem defini # G # în #4*3*2 = 24# moduri ca aceasta # G # este injectiv.