Avem un acoperiș semi-cilindru cu raza r și înălțimea r montat pe patru pereți dreptunghiuiți cu înălțimea h. Avem 200π m ^ 2 de foaie de plastic pentru a fi utilizate în construcția acestei structuri. Care este valoarea lui r care permite volumul maxim?

Răspuns:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Explicaţie:

Permiteți-mi să repet întrebarea așa cum o înțeleg.

Cu condiția să fie suprafața acestui obiect # # 200pi, maximizați volumul.

Plan

Cunoscând suprafața, putem reprezenta o înălțime # H # în funcție de rază # R #, atunci putem reprezenta volumul în funcție de un singur parametru - raza # R #.

Această funcție trebuie să fie maximizată utilizând # R # ca parametru. Asta dă valoarea lui # R #.

Suprafața conține:

4 pereți care formează o suprafață laterală a unui paralelipiped cu un perimetru de bază # # 6r și înălțime # H #, care au suprafața totală de # # 6rh.

1 acoperiș, jumătate dintr-o suprafață laterală a unui cilindru cu o rază # R # și înălțime # R #, care are o suprafață de #pi r ^ 2 #

2 laturi ale acoperișului, semicercurile unei raze # R #, a cărui suprafață totală este #pi r ^ 2 #.

Suprafața totală rezultată a unui obiect este

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Știind că acest lucru este egal cu # # 200pi, ne putem exprima # H # in termeni de # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) -pi / 3r ##

Volumul acestui obiect are două părți: sub acoperiș și în interiorul acoperișului.

Sub acoperiș avem un paralelipiped cu suprafața bazei # 2r ^ 2 # și înălțime # H #, care este volumul său este

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

În interiorul acoperișului avem o jumătate de cilindru cu o rază # R # și înălțime # R #, volumul său este

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Trebuie să maximizăm funcția

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1/2pir ^ 3 = 200 / 3pir -

care arată astfel (nu la scară)

grafic {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Această funcție atinge maximul atunci când derivatul său este egal cu zero pentru un argument pozitiv.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

În zona #R> 0 # este egal cu zero când # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Aceasta este raza care dă cel mai mare volum, având în vedere suprafața și o formă a unui obiect.