Cum găsiți limita (arctan (x)) / (5x) când x se apropie de 0?

Răspuns:

#img (x -> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Explicaţie:

Pentru a găsi această limită, observați că atât numerotatorul, cât și numitorul merg la #0# la fel de #X# abordari #0#. Asta înseamnă că vom obține o formă nedeterminată, astfel putem aplica regula lui L'Hospital.

#img (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Aplicând regula lui L'spital, luăm derivatul numitorului și numitorului, dându-ne

(x> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x> 0) +5) = 1/5 #

De asemenea, putem verifica acest lucru prin graficarea funcției, pentru a obține o idee despre ce #X# abordari.

Graficul grafic #arctan x / (5x) #:

grafic {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Răspuns:

O abordare mai lungă folosind trig este explicată mai jos.

Explicaţie:

În cazul în care nu sunteți convins de regula lui L'Hopital sau nu ați fost încă expus, o altă abordare pentru rezolvarea problemei implică utilizarea definiției funcției arctangent.

Amintiți-vă că dacă # Tantheta = x #, atunci # Theta = arctanx #; acest lucru înseamnă, în esență, că arctangentul este inversa tangentei. Folosind aceste informații, putem construi un triunghi unde # Tantheta = x # și # Theta = arctanx #:

Din diagrama, este clar că # Tantheta = x / 1 = x #. De cand # Tantheta = sintheta / costheta #, putem exprima aceasta ca:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Folosind acest plus plus faptul că # Theta = arctanx #, putem face înlocuiri în limita:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Acest lucru este echivalent cu:

#lim_ (theta> 0) 1/5 * lim_ (theta> 0) teta * lim_ (theta> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta> 0) theta / sintheta * lim_ (theta> 0) costheta #

Noi stim aia #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; asa de #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # sau #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Și de atunci # Cos0 = 1 #, limita evaluează:

# 1. / 5 * lim_ (theta> 0) theta / sintheta * lim_ (theta> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#