Care este integrarea lui sqrt (9-x ^ 2)?

Ori de câte ori văd astfel de funcții, recunosc (practicând o mulțime) că ar trebui să folosiți o substituție specială aici:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

# x = 3sin (u) #

Ar putea părea o înlocuire ciudată, dar veți vedea de ce facem asta.

#dx = 3cos (u) du #

Înlocuiți allhting în integrare:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Putem aduce cele 3 din integrale:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Puteți lua factorul 9 afară:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Stim identitatea: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Dacă rezolvăm # # COSX, primim:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Acesta este exact ceea ce vedem în integral, astfel încât îl putem înlocui:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

S-ar putea să-l cunoașteți pe acesta ca pe o bază antiderivativă, dar dacă nu o faceți, vă puteți da seama așa:

Noi folosim identitatea: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (puteți face acest lucru prin înlocuire)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Acum, trebuie doar să punem # U # în funcție. Să ne uităm la modul în care am definit-o:

# x = 3sin (u) #

# x / 3 = păcat (u) #

A obține # U # din aceasta, trebuie să luați funcția inversă a #păcat# pe ambele părți, este # # Arcsin:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Acum trebuie să introducem în soluția noastră:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Aceasta este soluția finală.