Integrați lnx / 10 ^ x?

Răspuns:

greşeală

Explicaţie:

#int (LNX) / 10 ^ XDX # poate fi scris și ca #int (LNX) xx10 ^ (- x) dx #.

Acum, putem folosi formula pentru integrarea produsului

# Intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, Unde # U = LNX #

Ca atare, avem # Du = (1 / x) dx # si lasa # = X ^ dv (- 10) dx # sau # V = x ^ (- 9) / - 9 #

Prin urmare, # Intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -int (x ^ (- 9) / - 9) * dx / x #, sau

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) INTx ^ (- 10) * # dx

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) x ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1/81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) + c #

Răspuns:

Apare seria infinită integrală cu mine.

Explicaţie:

Putem folosi formula pentru integrarea produsului de două funcții #u (x) și v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(regula poate fi pur și simplu derivată prin integrarea regulii de produs a diferențierii)

Dat fiind integral #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # pot fi scrise ca

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

Lăsa # u = ln (x) și dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

de la prima ipoteză # du = 1 / x cdotdx #

de la a doua egalitate # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

Primim #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) dx #

Unde # # C este o constantă a integrării.

# ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) + int1 / ln 10 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Cddot ln | x | + C_2,simplificarea

# ln (x) cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x) + 1 / ln 10 int 10 ^ -xcdot 1 /

Se reduce la găsirea integrală a lui # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Din nou, utilizând formula integrală de mai sus

Lăsa # U = x ^ -1 # și # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # și avem deja valoarea pentru # V #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) -int (-1 / ln 10 10 ^ -x + C) cdot dx) #

1. Inspecția arată că se dovedește a fi găsirea #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # si asa mai departe.
2. Funcţie #ln (x) # este definit numai pentru #X> 0 #
3. Integralul pare a fi integrat în serie infinit.

Răspuns:

# (lny) (ln (ln_10y)) - lny = (lny) (ln (ln_10y) -1) #

Apoi pune-te # 10 ^ x # pentru #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

Explicaţie:

Lăsa # Y = 10 ^ x #

# LNY = ln10 ^ x #

# LNY = x * # ln10

# x = lni / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxd #

# int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# 1 = (ln / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 /

# V = LNY #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) ln-intlny * 1 / (ilin)

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10y-1) #

Apoi pune-te # 10 ^ x # pentru #y #

#in 10 ^ x (ln (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#PROOF: #

# d / dy ((lny) (ln (ln_10y) -1)) #

# f = ln, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (iln10))

# Fg '+ gf' #---> regulă de produs

(1 / ln_10y) (1 / (iln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

(ln / ln10)) (1 / (iln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

(ln10 / lny) (1 / (iln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((1 + ln (ln_10 y) -1)) / y #

# (Ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # de sus