Cum observați suma seriei geometrice infinite 10 (2/3) ^ n când n = 2?

Răspuns:

Răspunsul este fie #40/9# sau #40/3# în funcție de ce se înțelege prin întrebare.

Explicaţie:

Ei bine dacă #n = 2 # atunci nu există o sumă, răspunsul este doar:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Dar poate că întrebarea ar fi trebuit să ceară ca suma infinită să fie luată începând de la # N = 2 # astfel încât ecuația este:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

În acest caz, am fi calculat-o mai întâi prin faptul că orice serie geometrică poate fi văzută ca având forma:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

În acest caz, seria noastră are #a = 10 # și #r = 2/3 #.

De asemenea, vom observa că:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Deci, putem calcula pur și simplu suma unei serii geometrice # (2/3) ^ n # și apoi multiplicați această sumă cu #10# pentru a ajunge la rezultatul nostru. Acest lucru face lucrurile mai ușoare.

De asemenea, avem următoarea ecuație:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Acest lucru ne permite să calculam suma seriei începând de la # N = 0 #. Dar vrem să-l calculam # N = 2 #. Pentru a face acest lucru, vom scădea pur și simplu # N = 0 # și # N = 1 # termeni din suma totală. Scriind primii câțiva termeni din sumă putem vedea că arată:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Putem vedea asta:

(2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#

Termenul r ("a") al seriei geometrice este (2r + 1) cdot 2 ^ r. Suma primului termen n al seriei este ceea ce?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = suma_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + suma_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = suma_ {r = 1} ^ nr * 2 (1 - 2) + (1 - 2) (+ 1) / (1 - 2) 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = suma_ {i = 0} ^ {n-1} + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) (2n + 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 Să verificăm S = 1 * 2 ^ 0 + 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdoturi S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdoturi S (0) = 1 = -2 + 3 S (2) = 27 = 6 * 2 ^ 2 + 3 Și S (3) = 83 = 10 * 2 ^ 3 + 3

Al doilea și al cincilea termen al seriei geometrice sunt 750 și, respectiv, 6. Găsiți raportul comun și primul termen al seriei?

R = -1 / 5, a_1 = -3750 Culoarea (albastru) "n-lea termen al unei secvențe geometrice" este. culoarea (albă) (2/2) |))) unde (a) este a (a) primul termen și r, raportul comun. rArr "al doilea termen" = ar ^ 1 = 750to (1) rArr "al cincilea termen" = ar ^ 4 = -6to (2) ) / (anulați (a) r) = (- 6) / 750 rArrr3 = -1 / 125rArrr = -1/5 Înlocuiți această valoare în 1 pentru a găsi rArraxx-1/5 = 750 rArra = (-1/5) = - 3750

Cum găsiți suma seriei geometrice infinite 4 - 2 + 1 - 1/2 +. . .?

8/3 a_2 / a_1 = (- 2) / 4 = -1 / 2 a_3 / a_2 = 1 / -2 = -1 / 12 implică raportul comun = r = -1/2 și primul termen = a_1 = seria geometrică infinită este dată de Sum = a_1 / (1-r) implică Sum = 4 / (1 - (- 1/2)) = 4 / (1 + 1/2) = 8/2 + 1 = 8/3 implică S = 8/3 Prin urmare, suma seriei geometrice date este de 8/3.