Cum găsiți Formula lui MacLaurin pentru f (x) = sinhx și folosiți-l pentru a aproxima f (1/2) în intervalul 0,01?

Răspuns:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Explicaţie:

Știm definiția pentru #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Din moment ce cunoaștem seria Maclaurin pentru # E ^ x #, îl putem folosi pentru a construi unul pentru #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ ^ oox n / (n!) = 1 + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Putem găsi seria pentru # E ^ -X # prin înlocuire #X# cu #-X#:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Putem scăpa aceste două unul de celălalt pentru a găsi numărul de numerar al lui # # Sinh definiție:

#color (alb) (-. e ^ -x) e ^ x = culoare (alb) (….) 1 + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#color (alb) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = culoare (alb) (lllllllll) 2xcolor (alb) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Culoare (alb) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Putem observa că toți termenii se anulează și toți termenii ciudați se dublează. Putem reprezenta acest tipar:

# e ^ x-e ^ -x = suma_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)

Pentru a finaliza #sinh (x) # serie, trebuie doar să împărțim asta #2#:

(2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = # (e ^ x-e ^ -x)

# = suma_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)

Acum vrem să calculam #f (1/2) # cu o precizie de cel puțin #0.01#. Știm această formă generală a erorii Lagrange legată de un polinom taylor de grade n # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / (! (N + 1)) (x-c) ^ (n + 1) | # Unde # # M este o limită superioară a derivatului n-a în intervalul de la # C # la #X#.

În cazul nostru, extinderea este o serie Maclaurin, deci # c = 0 # și # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Derivații de ordin superior cu #sinh (x) # fie va fi #sinh (x) # sau #cosh (x) #. Dacă luăm în considerare definițiile pentru ele, vedem asta #cosh (x) # va fi întotdeauna mai mare decât #sinh (x) #, așa că ar trebui să elaborăm # # M-cu destinația #cosh (x) #

Funcția de cosinus hiperbolică crește întotdeauna, astfel încât cea mai mare valoare a intervalului va fi la #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Acum, conectăm acest lucru la eroarea Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

Noi vrem # | R_n (x) | # să fie mai mică decât #0.01#, așa că încercăm pe alții # N # valorile până când ajungem la acel punct (cu cât mai puțin termeni din polinom, cu atât mai bine). Noi găsim asta # N = 3 # este prima valoare care ne va da o eroare limitată mai mică decât #0.01#, deci trebuie să folosim un polinom Taylor de gradul III.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #