Care este perimetrul unui octogon regulat cu o rază de lungime 20?

Răspuns:

Depinde:

Dacă raza interioară este #20#, atunci perimetrul este:

# 320 (sqrt (2) -1) ~ ~ 132,55 #

Dacă raza exterioară este #20#, atunci perimetrul este:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

Explicaţie:

Aici cercul roșu circumscrie raza exterioară și cercul verde cel interior.

Lăsa # R # fi raza exterioară - adică raza cercului roșu.

Apoi, vârfurile octogonului au fost centrate pe #(0, 0)# sunt la:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Lungimea unei părți este distanța dintre # (r, 0) # și # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Astfel, perimetrul total este:

#color (roșu) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Deci, dacă raza exterioară este #20#, atunci perimetrul este:

# 2 * sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122,46 #

#culoare albă)()#

Raza interioară va fi # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2)

Asa de #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Apoi, perimetrul total este

# Sqr (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2)

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2)) /

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2)) / / (2 + sqrt (2)

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Culoare (verde) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Deci, dacă raza interioară este #20#, atunci perimetrul este:

# 16 * 20 (sqrt (2) -1) = 320 (sqrt (2) -1) ~ ~ 132,55 #

#culoare albă)()#

Cât de bună este aproximarea # Pi # ne da asta?

În timp ce suntem aici, pentru ce aproximație # Pi # ajungem prin medierea razei interioare și exterioare?

#pi ~~ 2 (sqrt (2) -1) + sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 3.1876 #

… așa că nu e grozav.

Pentru a obține o aproximare cât mai bună cu #355/113 ~~ 3.1415929#, matematicianul chinez Zu Chongzhi a folosit a #24576# (# = 2 ^ 13xx3 #) poligon lateral și bare de numărare.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi