Fie V = R3 și W = {(x, y, z) x + y + z = 0} să fie un subspațiu al lui V. Care dintre următoarele perechi de vectori sunt în același coset de W în V? (I) (1,3,2) și (2,2,2). (Ii) (1,1,1) și (3,3,3).

Răspuns:

# #

# mbox {i}} (1,3,2) mbox {și} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {fac parte din același coset de} W. #

# mbox {ii}} (1,1,1) mbox {și} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {nu aparțin aceluiași coset de} W. #

Explicaţie:

# #

# mbox {1) Rețineți că, prin {} W, mbox {putem descrie} mbox {elementele lui W mbox { mbox {unde} mbox {suma coordonatelor este} 0. 0. #

# #

# mbox {2) Amintiți-vă acum că:} #

# mbox {doi vectori aparțin aceluiași coset al oricărui subspațiu} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {diferența lor aparține subspațiului însuși}. #

# #

# mbox {3} Astfel, pentru a determina apartenența la același coset de} W, mbox {este necesar și suficient să se determine dacă mbox {

\\\\\\\\\\\\\\\ ". #

# #

# mbox {Prin urmare, prin descrierea} W mbox {din (1) de mai sus, avem:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {același coset de} W quad iff quad mbox {suma coordonatelor lui - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {Este o chestiune de acest calcul simplu.} #

# #

# 4) mbox {Continuând cu cele două perechi de vectori și} mbox {care efectuează acest calcul pe fiecare pereche, găsim: #

# quad mbox {i}} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0)

# qquad qquad mbox {suma coordonatelor} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {De aici:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {și} (2,2,2)

# qquad qquad qquad qquad mbox {aparțin aceluiași coset de} W. #

# #

# quad mbox {ii}} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2)

# qquad qquad mbox {suma coordonatelor} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {De aici:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {și} (3,3,3)

# qquad quad quad mbox {nu aparțin aceluiași coset de} W. #