Întrebarea # ecc3a

Răspuns:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Explicaţie:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Răspuns:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3)

Explicaţie:

Ori de câte ori avem un numărătoare paralelă și nu #X#în numerotator, vrem să obținem integralul în următoarea formă:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

În cazul nostru, putem face acest lucru completând pătratul și apoi folosind o înlocuire.

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

(X + 2 / x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4)

Vrem să introducem o substituție u astfel încât:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Putem rezolva pentru #X# să dăm seama ce trebuie să fie această substituție:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 /-2u o jumătate #

Integrarea cu privire la # U #, înmulțim cu derivatul lui #X# cu privire la # U #:

# Dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 /

= 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du =

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Acum putem rezolva # U # in termeni de #X# pentru a resubstitui:

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

Aceasta înseamnă că răspunsul nostru final este:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #