Rezolvați întrebarea 39?

Răspuns:

B

Explicaţie:

În primul rând, ar trebui să folosim faptul că numerele trebuie să fie consecutive, prin apelarea numerelor pe care le alegem # N-1, n, n + 1 #, în cazul în care respectăm constrângerile # N # trebuie să fie între #-9# și #9# inclusiv.

În al doilea rând, observați că dacă obținem o anumită valoare pentru un anumit # A, b, c #, putem schimba aceste valori specifice, dar obținem același rezultat. (Cred că acest lucru este numit permutabil, dar uitați termenul potrivit)

Așa că putem lăsa pur și simplu # A = n-1 #,# B = n #,# C = n + 1 #, acum conectăm acest lucru:

# (A ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((N-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (N ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (N ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Acum, problema noastră devine a vedea pentru ce valori # -9 <= n <= 9 # expresia oferă valori întregi, câte valori diferite obținem.

Voi continua soluția într-un răspuns separat, doar pentru a facilita citirea.

Răspuns:

Partea a doua a solului meu. Aceasta va folosi aritmetica modulară, dar dacă nu sunteți familiarizați cu ea, atunci există întotdeauna opțiunea de a substitui toate valorile necesare # N #

Explicaţie:

Deoarece expresia trebuie să fie o valoare întregă, partea de jos trebuie să împartă exact partea de sus. Astfel, numărătorul ar trebui să aibă un factor de 3. Și pentru aceasta ar trebui să folosim aritmetică modulară.

Examinează pentru care n satisface: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Lucrul în caz de caz:

1. Încercăm # N = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, care nu funcționează

2. Încercăm # N = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 ^ 2 + 27k + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, care funcționează

3. Încercăm # N =-3k 1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (-3k 1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 1 +-27k-3k 1 #

#-=-2-=1#, care nu funcționează

Deci deducem asta # N # trebuie să fie de formă # 3k + 1 #, sau un mai mult decât un multiplu de 3. Considerând gama noastră pentru n, fiind # -9 <= n <= 9 #, avem valorile posibile ale:

# N = -8, -5, -2,1,4,7 #.

În acest moment s-ar putea să folosiți acest lucru # N = 3k + 1 #, dar cu numai 6 valori pentru a verifica am decis în loc să calculeze fiecare în loc, și singura valoare pentru # N # care funcționează este # N = 1 #, rezultând rezultatul #1#.

În sfârșit, singurul set de numere consecutive care produce un rezultat întreg este #0,1,2#, dând #1# prin urmare, răspunsul este # B #