Cum împărțiți (-i-5) / (i-6) în formă trigonometrică?

Cum împărțiți (-i-5) / (i-6) în formă trigonometrică?
Anonim

# (- i-5) / (i-6) #

Permiteți-mi să rearanjez asta

# (- i-5) / (i-6) = (- 5-i) / (- 6 + i) = (- (5 + i)) / (- 6 + i) = (5 + i) / (6-i) #

Mai întâi trebuie să transformăm aceste două numere în forme trigonometrice.

Dacă # (A + ib) # este un număr complex, # U # este magnitudinea și #alfa# este unghiul său atunci # (A + ib) # în formă trigonometrică este scrisă ca #U (cosalpha + isinalpha) #.

Amplitudinea unui număr complex # (A + ib) # este dat de#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # și unghiul său este dat de # ^ -1 (b / a) # tan

Lăsa # R # să fie magnitudinea lui # (5 + i) # și # # Teta fie unghiul său.

Amploarea lui # (5 + i) = sqrt (5 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (25 + 1) = sqrt26 = r #

Unghiul de # (5 + i) = ^ -1 Tan (1/5) = theta #

#implies (5 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Lăsa # S # să fie magnitudinea lui # (6-i) # și # # Phi fie unghiul său.

Amploarea lui # (6-i) = sqrt (6 ^ 2 + (- 1) ^ 2) = sqrt (36 + 1) = sqrt37 = s #

Unghiul de # (6-i) = ^ Tan -1 ((- 1) / 6) = phi #

#implies (6-i) = s (Cosphi + isinphi) #

Acum,

# (5 + i) / (6-i) #

# = (R (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = R / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = R / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = R / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = R / s * (cos (theta-phi) + ISIN (theta-phi)) / (1) #

# = R / s (cos (theta-phi) + ISIN (theta-phi)) #

Aici avem toate lucrurile prezente, dar dacă aici substituim în mod direct valorile pe care cuvântul le-ar fi greu de găsit #theta -phi # așa că mai întâi să aflăm # Theta-phi #.

# Theta-phi = tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) #

Noi stim aia:

# Tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((ab) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) = tan ^ -1 ((1/5) - (- 1/6) / 5) ((- 1) / 6))) #

# = Tan ^ -1 ((6 + 5) / (30-1)) = tan ^ -1 (11/29) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (11/29) #

# R / s (cos (theta-phi) + ISIN (theta-phi)) #

# = Sqrt26 / sqrt37 (cos (tan ^ -1 (11/29)) + ISIN (tan ^ -1 (11/29))) #

# = sqrt (26/37) (cos (tan ^ -1 (11/29)) + ISIN (tan ^ -1 (11/29))) #

Acesta este răspunsul dvs. final.

Puteți să o faceți și printr-o altă metodă.

Prin divizarea în primul rând a numerelor complexe și apoi schimbarea lor în formă trigonometrică, ceea ce este mult mai ușor decât acesta.

Mai întâi să simplificăm numărul dat

# (5 + i) / (6-i) #.

Se multiplică și se împarte prin conjugatul numărului complex prezent în numitor, adică # 6 + i #.

# (5 + i) / (6i) = ((5 + i) (6 + i)) / ((6i) (6 + i)) = (30 + 5i + 6i + i ^ 2) / (6 ^ 2-i ^ 2) #

# = (30 + 11i-1) / (36 - (- 1)) = (29 + 11i) / (36 + 1) = (29 + 11i) / 37 = 29/37 + (11i) / 37 #

# (5 + i) / (6-i) = 29/37 + (11i) / 37 #

Lăsa # T # să fie magnitudinea lui # (29/37 + (11i) / 37) # și # # Beta fie unghiul său.

Amploarea lui # (29/37 + (11i) / 37) = sqrt ((29/37) ^ 2 + (11/37) ^ 2) = sqrt (841/1369 + 121/1369) = sqrt (962/1369) = sqrt (26/37) = t #

Unghiul de # (29/37 + (11i) / 37) = ^ Tan -1 ((11/37) / (29/37)) = tan ^ -1 (11/29) = beta #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = sqrt (26/37) (Cos (tan ^ -1 (11/29).