Răspuns:
Soluţie: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~ ~ -106,26 ^ 0) #
Explicaţie:
# 10 cos x + 13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # sau
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) + 13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) + 13 cos (x / 2) -15 = 0 # sau
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # sau
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) + 5) -3 (4 cos (x / sau
# (4 cos (x / 2) + 5) (5 cos (x / 2) -3) = 0: Fie
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 sau (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) + 5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # sau
# cos (x / 2)! = 5/4 # deoarece intervalul de #cos x # este #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # sau
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53,13 ^ 0 #
De asemenea #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ ~ 106,26 ^ 0 #
și # x = (-53,13) * 2 ~ ~ -106,26 ^ 0 #
Soluţie: # (x ~ ~ 106,26 ^ 0, x ~ ~ -106,26 ^ 0) # Ans
Răspuns:
# x = arccos (-7/25) + 4 pi k quad # întreg # # K
Explicaţie:
Să începem prin înlocuirea # y = x / 2 # pentru a scăpa de unghiurile fracționate.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
Forma favorizată a formulei unghiului dublu cosinus este
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y-1 #
substituind, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Aceasta este o durere la factor, dar o mică căutare vine cu
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 sau cos y = -5 / 4 #
Putem ignora cosinusul din afara domeniului.
#cos y = 3/5 #
Putem folosi formula de dublu unghi:
# cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7 / 25) #
E un Triple Pythagorean #7^2+24^2=25^2# astfel încât să putem încerca să scriem ca atare # arctan (pm 24/7) # dar asta e rădăcini mai străine.
# x = arccos (-7/25) + 2 pi k quad # întreg # # K
Verifica:
Vom verifica un cuplu cu un calculator.
# x = text {Arc} text {cos} (- 7/25) aproximativ 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 ori 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Să adăugăm 360 și să verificăm din nou:
# 10 cos (360 + 106,260205) + 13 cos ((360 + 106,260205 / 2)) -5 = -15,6 quad # NU functioneaza.
Din cauza jumătății unghiului, răspunsul corect pare să fie
# x = arccos (-7/25) + 4 pi k quad # întreg # # K
