Răspuns:
(x2) / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^
Explicaţie:
Pentru ca această problemă să aibă sens # 4-9x ^ 2> = 0 #, asa de # -2/3 <= x <= de 2/3 #. Prin urmare, putem alege a # 0 <= u <= pi # astfel încât # X = 2 / 3cosu #. Folosind acest lucru, putem substitui variabila x în integrarea folosind # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u) aici folosim asta # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # și pentru asta # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Acum folosim integrarea de părți pentru a le găsi # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Prin urmare # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Așa am găsit #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, acum înlocuim #X# înapoi pentru # U #, folosind # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, asa de (x) = 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) + c #.
Putem simplifica în continuare acest lucru prin folosirea definiției sines și cosinelor în termeni de triunghiuri. Pentru un triunghi drept cu un unghi # U # la unul dintre colțurile non-dreapta, # sinu = "partea opusă" / "partea cea mai lungă" #, in timp ce # cosu = "partea adiacentă" / "partea cea mai lungă" #, deoarece știm # Cosu = (3x) / 2 #, putem alege partea adiacentă să fie # 3x # și cea mai lungă parte care trebuie să fie #2#. Folosind teorema lui Pythagoras, găsim partea opusă ca fiind #sqrt (4-9x ^ 2) #, asa de #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Prin urmare (x2) / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^.
