Ce este teorema lui DeMoivre? + Exemplu

Teorema lui DeMoivre se extinde pe formula lui Euler:

# E ^ (ix) = cosx + isinx #

Teorema lui DeMoivre spune că:

• # (E ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + ISIN (nx) - = (COSX + isinx) ^ n #

Exemplu:

#cos (2x) + ISIN (2x) - = (COSX + isinx) ^ 2 #

# (Cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

In orice caz, # I ^ 2 = -1 #

# (Cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Rezolvarea pentru părți reale și imaginare din #X#:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Comparat cu #cos (2x) + ISIN (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Acestea sunt formulele cu unghi dublu pentru # # cos și #păcat#

Acest lucru ne permite să ne extindem #cos (nx) # sau #sin (nx) # în ceea ce privește competențele # # Sinx și # # COSX

Teorema lui DeMoivre poate fi luată în continuare:

Dat # Z = cosx + isinx #

# Z ^ n = cos (nx) + ISIN (nx) #

#Z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + ISIN (nx)) #

#Z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + ISIN (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# Z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# Z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Deci, dacă vroiai să-ți exprimi # Păcat ^ nx # în termeni de unghiuri multiple de # # Sinx și # # COSX:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Extindeți și pur și simplu, apoi introduceți valorile pentru # Z ^ n + z ^ (- n) # și # Z ^ n-z ^ (- n) # unde este necesar.

Cu toate acestea, în cazul în care implică # cos ^ nx #, atunci ai face # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # și urmați etapele similare.