Răspuns:
# Dy / dx = -20/21 #
Explicaţie:
Veți avea nevoie să cunoașteți elementele de bază ale diferențierii implicite pentru această problemă.
Știm că panta liniei tangente la un punct este derivată; astfel încât primul pas va fi să luați derivatul. Să o facem cu bucăți, începând cu:
# D / dx (3y ^ 2) #
Acesta nu este prea greu; trebuie doar să aplicați regula lanțului și regula de putere:
# D / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Acum, pe # # 4xy. Vom avea nevoie de puterea, lanțul și regulile de produs pentru aceasta:
# D / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Regula de produs: # D / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Bine, în sfârșit # X ^ 2y # (mai multe reguli de produs, putere și lanț):
# D / dx (x ^ 2y) #
# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2DY / dx #
Acum, că am găsit toate derivatele noastre, putem să exprimăm problema ca:
# D / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
(Amintiți-vă derivatul unei constante este #0#).
Acum ne colectează termenii # Dy / dx # pe o parte și să mutați tot ce este altul în celălalt:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2DY / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2DY / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Tot ce trebuie să faceți este să conectați #(2,5)# pentru a găsi răspunsul nostru:
# Dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# Dy / dx = - (4 (5) 2 (2) (5)) / (6 (5) 4 (2) + (2) ^ 2) #
# Dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
