Răspuns:
# "Nu există o factorizare ușoară aici. Doar o metodă generală" #
# "pentru rezolvarea unei ecuații cubice ne poate ajuta aici." #
Explicaţie:
# "Am putea aplica o metodă bazată pe înlocuirea lui Vieta." #
# "Împărțirea cu primul randament al coeficientului:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Înlocuind" x = y + p "în" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^
# "dacă luăm" 3p + a = 0 "sau" p = -a / 3 ", primul coeficient" # # "devine zero, și obținem:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(cu" p = -2/3 ")" #
# "Înlocuind" y = qz "în" y ^ 3 + b y + c = 0 "
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "dacă luăm" q = sqrt (| b | / 3) ", coeficientul z devine" #
# "3 sau -3, și vom obține:" #
# "(aici" q = 1,61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1,87850338 = 0 #
# "Înlocuind" z = t + 1 / t ", randamentul:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1,87850338 = 0 #
# "Înlocuind" u = t ^ 3 ", randamentul ecuației patrate:" #
# => u ^ 2 + 1,87850338 u + 1 = 0 #
# "Rădăcinile ecuației patrate sunt complexe." #
# "Aceasta înseamnă că avem 3 rădăcini reale în ecuația noastră cubică." #
# "O rădăcină a acestei ecuații patrate este" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Înlocuirea variabilelor înapoi, randamente:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1,26433430 #
# "Celelalte rădăcini pot fi găsite prin împărțirea și rezolvarea" # # "ecuația parțială rămasă." #
# "Celelalte rădăcini sunt reale: -3.87643981 și 0.61210551." #
Răspuns:
(X-x_1) (x-x_1) (x-x_2) # 2 x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 =
Unde:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi)
Explicaţie:
Dat:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Rețineți că acest lucru se poate factoriza mult mai ușor dacă există o greșeală în această întrebare.
De exemplu:
(X-2 + 3x-6) = … # x ^ 3 + 4x ^ 2-culoare (roșu)
# X ^ 3 + 4x ^ 2-13x + culoare (roșu) (7) = (x-1)
Dacă cubul este corect în forma dată, atunci putem să-i găsim zerourile și factorii după cum urmează:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformarea Tschirnhaus
Pentru a face sarcina de a rezolva mai simplu cubul, facem mai simplu cubul folosind o substituție liniară cunoscută sub numele de transformare Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x 4 +) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
Unde # T = (6x + 4) #
Înlocuirea trigonometrică
De cand #f (x) # are #3# adevăratele zerouri, metoda Cardano și altele similare vor avea ca rezultat expresii care includ rădăcini ireductibile cub de numere complexe. Preferința mea în astfel de circumstanțe este folosirea unei substituții trigonometrice.
A pune:
#t = k cos theta #
Unde #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Atunci:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (alb) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (alb) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (alb) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Asa de:
#cosul 3 theta = -1712 / (94k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt
Asa de:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Asa de:
# (3) - (1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Asa de:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Ceea ce da #3# zerouri distincte ale cubului în # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (-1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) pentru #n = 0, 1, 2 #
Atunci:
# x = 1/6 (t-4) #
Deci, cele trei zerouri ale cubului dat sunt:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi)
cu valori aproximative:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
