Testați f pentru concavitate?

Răspuns:

# F # este convex în # RR #

Explicaţie:

Am rezolvat-o.

# F # este de 2 ori diferențiată în # RR # asa de # F # și # F '# sunt continue în # RR #

Noi avem # (F '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Diferențiând ambele părți obținem

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # asa de #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Avem nevoie de semnul numărătorului, astfel încât să luăm în considerare o nouă funcție

#G (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #X##în## RR #

#G '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Observăm asta #G '(0) = e ^ 0-cos0 6 * 0 + = 1-1 + 0 = 0 #

Pentru # x = tt # #=># #G '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Pentru # X = -π # #G '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

În final, primim acest tabel care arată monotonia lui # G #

Presupus # I_1 = (- oo, 0 # și # I_2 = 0, + oo) #

#G (I_1) = g ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3, + oo) #

#G (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3, + oo) #

deoarece

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Folosind teorema stoarcere / sandwich avem

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Prin urmare, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ g (xrarr + oo) (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Cu același proces la care ajungem

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

In orice caz, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Prin urmare, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Intervalul de # G # va fi:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # asa de # G # nu are rădăcini # RR #

  # G # este continuă în # RR # și nu are soluții. Prin urmare, # G # păstrează conectarea # RR #

Asta inseamna

{g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR)

Prin urmare, #G (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Ca rezultat #G (x)> 0 #, #X##în## RR #

Și #f '' (x)> 0 #, #X##în## RR #

#-># # F # este convex în # RR #

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Dat #y = f (x) # raza de curbură a curbei este dată de

# rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f ") # astfel dat

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # noi avem

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # sau

# f "(1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) sau

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # sau

# rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f ") = (3 (1+ (f') ^ + 3x ^ 3-sinx + 2) #

analizând acum #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # noi avem

# min g (x) = 0 # pentru #x în RR # asa de #g (x) ge 0 # și apoi curbură în

# rho = (3 (1 + (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ nu schimbă semnul, așa că vom concluziona #f (x) # epigrafa este convexă în # RR #