Care este multiplicitatea rădăcinii reale a unei ecuații care traversează / atinge axa x o dată?

Răspuns:

Câteva observații …

Explicaţie:

Rețineți că #f (x) = x ^ 3 # are proprietățile:

• #f (x) # este de grad #3#

• Singura valoare reală a #X# pentru care # f (x) = 0 # este # X = 0 #

Aceste două proprietăți singure nu sunt suficiente pentru a determina că zero la # X = 0 # este de multiplicitate #3#.

De exemplu, luați în considerare:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Rețineți că:

• #G (x) # este de grad #3#

• Singura valoare reală a #X# pentru care #g (x) = 0 # este # X = 0 #

Dar multiplicitatea zero a lui #G (x) # la # X = 0 # este #1#.

Unele lucruri pe care le putem spune:

• Un polinom de grad #n> 0 # are exact # N # complexe (eventual reale) numărătoare de zerouri multiplicitate. Aceasta este o consecință a teoriei fundamentale a algebrei.

• # f (x) = 0 # Doar cand # X = 0 #, dar este de grad #3#, așa este #3# zerouri numărătoare multiplicitate.

• Prin urmare, zero la # X = 0 # trebuie să fie de multiplicitate #3#.

De ce nu este același lucru cu adevărat #G (x) #?

Este de grad #3#, deci are trei zerouri, dar două dintre ele sunt zerouri complexe non-reale, nume # + - I #.

Un alt mod de a privi acest lucru este acela de a observa acest lucru # x = un # este un zero de #f (x) # dacă și numai dacă # (X-a) # este un factor.

Găsim:

# x (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Acesta este: # X = 0 # este zero #3# ori peste.