Răspuns:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Explicaţie:
În primul rând # T = cosx #.
# Y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Acum, să terminăm pătratul pentru a face acest lucru.
# Y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Rețineți că # (T + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = T ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = T ^ 2 + 7t + 49/4 #
Aș vrea să adăugăm #49/4# în expresie și scădea din nou.
# Y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Rețineți că #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# Y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Acum, rețineți asta # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# Y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Acum, avem o diferență de pătrate și o putem factoriza ca una.
#Y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# Y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Dacă dorim, putem aduce un factor comun #1/2# din fiecare parte:
# Y = 1/4 alineatul (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Răspuns:
(cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x)
Explicaţie:
lăsa # u = cos (x) #
Întrebarea devine apoi:
Factor # U ^ 2 + 7u + 8 # ai putea folosi doar formula patratică aici, adică # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
sau ai putea să o faci pe drum lung (ceea ce nu este mai bun decât formula, de fapt este una dintre metodele folosite pentru a formula formula patratică):
găsi două rădăcini, # r_1 # și # r_2 # astfel încât # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Extinde: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Prin urmare: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
prin urmare: # - (r_1 + r_2) = 7 # și # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
(r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2-4 (r_1) (r_2) = 49-4 (8)
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {
frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2}
Astfel, forma concretă este (u + frac {7 - sqrt (17)} {2})
Sub # u = cos (x) # a obține:
(cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x)
