Care este proiecția (3i + 2j - 6k) pe (3i - 4j + 4k)?

Răspuns:

Proiecția vectorului este #< -69/41,92/41,-92/41 >#, proiecția scalară este # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Explicaţie:

Dat # Veca = (3i + 2j-6k) # și # vecb = (3i-4j + 4k) #, noi putem gasi #proj_ (vecb) Veca #, vector proiecție de # # Veca pe # # Vecb utilizând următoarea formulă:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Asta este produsul dot al celor două vectori împărțit la magnitudinea lui # # Vecb, înmulțit cu # # Vecb împărțită la amploarea sa. Cea de-a doua cantitate este o cantitate vectorială, deoarece divizăm un vector printr-un scalar. Rețineți că ne împărțim # # Vecb prin magnitudinea sa, pentru a obține o vector unitate (vector cu magnitudine de #1#). S-ar putea să observați că prima cantitate este scalară, deoarece știm că atunci când luăm produsul punct de două vectori, rezultatul este un scalar.

De aceea mărime scalară proiecție de #A# pe # B # este #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, de asemenea scrisă # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Putem începe prin a lua produsul dot al celor două vectori, care pot fi scrise ca # veca = <3,2, -6> # și # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Apoi putem găsi magnitudinea lui # # Vecb prin luarea rădăcinii pătrate a sumei pătratelor fiecăruia dintre componente.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Și acum avem tot ce avem nevoie pentru a găsi proiecția vectorului # # Veca pe # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Puteți distribui coeficientul fiecărei componente a vectorului și scrieți-l ca:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Proiecția scalară a # # Veca pe # # Vecb este doar prima jumătate a formulării, unde #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Prin urmare, proiecția scalară este # -23 / sqrt (41) #, care nu simplifică în continuare, pe lângă raționalizarea numitorului dacă dorește, dând # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Sper că vă ajută!