Care este intervalul unei funcții patrate?

Răspuns:

Intervalul de #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # este:

(a-0), ((-o, c-b ^ 2 / (4a) "dacă" a <0)

Explicaţie:

Având în vedere o funcție patratică:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # cu #a! = 0 #

Putem completa pătratul pentru a găsi:

= (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)

Pentru valorile reale ale #X# termenul pătrat # (X + b / (2a)) ^ 2 # este non-negativă, având valoarea minimă #0# cand # x = -b / (2a) #.

Atunci:

#f (-b / (2a)) = c-b ^ 2 / (4a) #

Dacă #a> 0 # atunci aceasta este valoarea minimă posibilă #f (x) # și intervalul de #f (x) # este # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Dacă #a <0 # atunci aceasta este valoarea maximă posibilă #f (x) # și intervalul de #f (x) # este # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

O altă modalitate de a privi acest lucru este de a lăsa #y = f (x) # și vezi dacă există o soluție pentru #X# in termeni de # Y #.

Dat:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Scădea # Y # de ambele părți pentru a găsi:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Discriminant # # Delta din această ecuație patratică este:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Pentru a avea soluții reale, avem nevoie #Delta> = 0 # Așadar:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Adăuga # 4ac-b ^ 2 # la ambele părți pentru a găsi:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Dacă #a> 0 # atunci putem să ne împărțim pur și simplu ambele părți # 4a # a obține:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Dacă #a <0 # atunci putem împărți ambele părți prin # 4a # și inversează inegalitatea pentru a obține:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #