Simplificarea complet S_ (k + 1). Mulțumiri?!!

Răspuns:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Explicaţie:

Nu putem substitui # X = k + 1 # în formula, sau îmi lipsește ceva aici?

Secvența este:

# S_n = * 2 + 1 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Deci, dacă vrem să calculam # # S_k, tocmai am pus # N = k #, si ia

# S_k = * 2 + 1 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

În cazul în care #S_ (k + 1) #, Cred că putem doar să înlocuim # + 1 # n = k, și o vom avea

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Dacă vrem să extindem acest lucru, devine

# (K + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 ^ 2 + 3k + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (K ^ 3 ^ 2 + 6k + 11k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Răspuns:

#S_ (k + 1) = ((k + 2) (k + 1) (k + 3)) / 3 #

Explicaţie:

#S_n: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Fie ca afirmația să fie adevărată pentru n = k, #S_k: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Să verificăm pentru

n = k + 1, atunci

# S_n = S_ (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "cu termenul imediat fiind" (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Prin urmare, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3+ (k + 1) (k + 2) #

# =: 1/3 (k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Verificate.

Prin urmare

#S_ (k + 1) = ((k + 2) (k + 1) (k + 3)) / 3 #