Întrebarea # e8ab5

Răspuns:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Explicaţie:

În primul rând, amintiți-vă ce #cos (x + y) # este:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Rețineți că:

# (Sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> păcat ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

Și:

# (Cosx + confortabil) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Acum avem aceste două ecuații:

# Păcat ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Dacă îi adăugăm împreună, avem:

# Păcat ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Nu lăsați marimea acestei ecuații să vă arunce. Căutați identități și simplificări:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

De cand # Păcat ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Identitatea Pitagoreană) și # Cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Identitatea Pitagoreană), putem simplifica ecuația la:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Putem să facem a #2# de două ori:

# 2 (+ cosxcosy sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Și divide:

# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

Și scade:

# Sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

În cele din urmă, deoarece #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, noi avem:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Dat

# Sinx + siny = un ……. (1) #

# Cosx + confortabil = b ……. (2) #

Împărțirea și adăugarea (1) & (2)

# (cosx + confortabil) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Îndoirea și scăderea (1) de la (2)

# (cosx + confortabil) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "Din (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => Cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Răspuns:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Explicaţie:

# sinx + siny = un rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1).

# cosx + confortabil = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2).

împărţind #(1)# de #(2)#, noi avem, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Acum, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Bucurați-vă de matematică!