Întrebarea # c7520

Răspuns:

Utilizați identitatea cu unghi dublu pentru sine și cercul unității pentru a găsi soluții de # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, și # (3pi) / 2 #.

Explicaţie:

În primul rând, folosim identitatea importantă # Sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# Sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Acum ne putem da seama # # Costheta:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

Și folosind proprietatea produsului zero, obținem soluții de:

# costheta = 0 "și" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Deci, când o face # Costheta = 0 # pe interval # Pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? Soluțiile pot fi găsite utilizând cercul unic și o proprietate a funcției cosinus:

#cos (-theta) = costheta #

Dacă # Theta = pi / 2 #, atunci:

#cos (pi / 2) = cos (pi / 2) #

Din cercul unic, știm asta #cos (pi / 2) = 0 #, ceea ce înseamnă, de asemenea #cos (pi / 2) = 0 #; deci două soluții sunt # Pi / 2 # și # Pi / 2 #. De asemenea, cercul unic ne spune asta #cos ((3pi) / 2) = 0 #, deci avem o altă soluție acolo.

Acum, pe # Sintheta = 1 / -2 #. Din nou, vom avea nevoie de cercul unitar pentru a găsi soluțiile noastre.

Știm din cercul unic că #sin (pi / 6) = 1 / -2 #, și #sin ((5pi) / 6) = 1 / -2 #, deci adăugăm # Pi / 6 # și # (5pi) / 6 # la lista de soluții.

În cele din urmă, am pus împreună toate soluțiile noastre: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, și # (3pi) / 2 #.

Cercul unității