Ce este int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Răspuns:

#= 1/4#

Explicaţie:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4in ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Răspuns:

#1/4#

Explicaţie:

Poate face acest lucru în mai multe moduri, aici sunt două dintre ele. Primul este de a folosi o substituție:

#color (roșu) ("Metoda 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)

Lăsa #u = ln (x) implică du = (dx) / x #

Transformarea limitelor:

#u = ln (x) implică u: 0 rarr 1 #

Integral devine:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Acesta este cel mai simplu mod, dar s-ar putea să nu puteți întotdeauna să faceți o înlocuire. O alternativă este integrarea prin părți.

#color (roșu) ("Metoda 2") #

Utilizați integrarea după părți:

Pentru funcții #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) implică u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) implică v (x) = 1 / 2ln (x) #

(ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2in (x) ln (x)

Gruparea ca termeni:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2in (x) ln (x) + C #

(x) + / Cx (x)) / (2x) dx = 1 / 4in (x) ln (x)

Lucrăm însă cu un anumit integral, aplicând limite și eliminând constanta:

# (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4in (x) ln (x)

# 1 / 4in (e) ln (e) - 1 / 4in (1) ln (1) #

#in (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #