Suma pătratului a trei numere întregi este 324. Cum găsiți numerele întregi?

Răspuns:

Singura soluție cu numere întregi pozitive este #(2, 8, 16)#

Setul complet de soluții este:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Explicaţie:

Ne putem salva niște eforturi, luând în considerare ce formă trebuie să aibă pătratele.

Dacă # N # este un întreg ciudat atunci #n = 2k + 1 # pentru un număr întreg # # K și:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Observați că acesta este un număr întreg ciudat al formularului # 4p + 1 #.

Deci, dacă adăugați patratele a două numere impare, atunci veți obține întotdeauna un număr întreg al formei # 4k + 2 # pentru un număr întreg # # K.

Rețineți că #324 = 4*81# este de formă # 4K #, nu # 4k + 2 #.

Prin urmare, putem deduce că cele trei numere întregi trebuie să fie uniforme.

Există un număr finit de soluții în întregi de atunci # n ^ 2> = 0 # pentru orice număr întreg # N #.

Luați în considerare soluții în numere întregi ne-negative. Putem adăuga variante care implică numere întregi negative la sfârșit.

Să presupunem că este cel mai mare număr întreg # N #, atunci:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Asa de:

# 12 <= n <= 18 #

Aceasta are ca rezultat sume posibile de pătrate ale celorlalte două numere întregi:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Pentru fiecare dintre aceste valori # # K, presupunem că cel mai mare număr întreg rămasă este # M #. Atunci:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

și ne cerem # K-m ^ 2 # a fi un pătrat perfect.

De aici găsim soluții:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Deci, singura soluție cu numere întregi pozitive este #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Este ușor să arătați asta #X y# și # Z # trebuie să fie chiar pentru că face # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # și # Z = 2m_z # noi avem

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # sau

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # care este absurd.

Așa că vom analiza de acum înainte

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Acum, având în vedere identitatea

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

cu # L, m, n # arbitrari și numere întregi pozitive

(m_z = 2m), (m_w = (1 ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

noi avem

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # sau rezolvarea pentru # N #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (1 ^ 2 + m ^ 2)))

astfel încât pentru fezabilitate avem nevoie

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # sau

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (1 ^ 2 + m ^ 2) = q #

prin urmare # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # noi vom avea

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # așa că este posibil # Q # sunteți

#q_f = {80,72,56,32} # deoarece #q echiv 0 mod 4 #

așa că trebuie să găsim

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # sau

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Aici, așa cum putem verifica cu ușurință, singura soluție este pentru

# L_1 = 2, M_1 = 4 # deoarece

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

si in consecinta # n_1 = {4,5} #

și înlocuind în 1 ajungem

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):}

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):}

oferind soluția

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16)