Dacă o piatră este aruncată la o altitudine de 174,9 m de un elicopter care urcă cu o viteză de 20,68 m / s, cât durează piatra să ajungă la pământ?

Răspuns:

8,45 secunde.

Explicaţie:

Direcția "g" când vorbim despre accelerație depinde de sistemul de coordonate pe care îl definim. De exemplu, dacă ați fi definit în jos ca pozitiv "y" atunci g ar fi pozitiv. Convenția este de a lua în sus ca pozitive, astfel încât g va fi negativ. Aceasta este ceea ce vom folosi, de asemenea, luăm tema ca #y = 0 #

#color (roșu) ("EDIT:") # Am adăugat o abordare folosind ecuațiile cinematice pe care le învățați din timp în partea de jos. Tot ce am făcut aici este derivarea acestora folosind calculul, dar apreciez că este posibil să nu l-ați acoperit.Derulați în jos până la titlul roșu pentru abordarea non-calcul.

Putem să privim mai îndeaproape acest lucru, începând de la zero cu cea de-a doua lege a lui Newton. Când piatra este aruncată, are o viteză inițială, dar singura forță care acționează asupra ei se datorează gravitației. Ne-am definit în sus ca direcția Y pozitivă, astfel încât prin a doua lege a lui Newton putem scrie

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Acest lucru se datorează faptului că piatra va accelera spre pământ, pe care am definit-o drept direcție negativă.

Integrarea acestei expresii oferă:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # este viteza pietrei, asa ca atunci cand aplicam viteza initiala la #y '(0) = + 20,68 # ajungem la

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Aceasta modelează viteza și are sens dacă te gândești la asta. Când este eliberat, va avea aceeași viteză ca elicopterul și se va mișca astfel în sus pentru o perioadă de timp, dar odată cu trecerea timpului, se va opri și apoi va începe să cadă.

Pentru a găsi deplasarea, ne integrăm din nou:

#y (t) = 20,68 t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Aplicați condiția inițială #y (0) = 174,9 #

# 174,9 = 20,68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#pentru y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Pentru a rezolva timpul necesar pentru a ajunge la sol, setați # Y = 0 # și să rezolve cadranul:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68 t - 174,9 = 0 #

Acest lucru este cu siguranță un loc de muncă pentru formula quadratică:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9)) / g #

luare #g = 9,8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 sau -4,23 #

Ne aruncăm soluția negativă, deci piatra durează 8,45 secunde pentru a ajunge la sol.

#color (roșu) ("Absența calculului") #

Noi stim aia #v = v_0 + la # Unde # V # este viteza finală, # # V_0 este viteza inițială, #A# este accelerația și # T # este momentul în care este solicitat.

Așa cum am spus mai devreme, cu un sistem de coordonate în sus # G # va fi negativ, dar piatra se va muta inițial în sus din cauza vitezei sale inițiale. Vrem să găsim punctul în care se oprește mișcarea în sus:

A stabilit #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Acum folosiți

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # din nou cu # a = -g #

asa de #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21,8m #

Aceasta înseamnă că piatra se oprește pentru moment #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196.7m #

Acum nu avem vreo viteză inițială plictisitoare de a lupta, doar o cădere dreaptă de la această înălțime:

#S = v_0t-1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Pe măsură ce poziția ascendentă este pozitivă, scăderea va duce la o deplasare negativă

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196,7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196,7) / 9,8) #

# t = 8.45 # după cum este necesar.

Răspuns:

8.45s

Explicaţie:

Elicopterul urcă cu viteză # U = 20.68m / s # Deci piatra care a coborât din ea va avea aceeași viteză inițială ca viteza ascendentă a elicopterului, dar forța gravitațională descendentă îi va oferi o accelerație descendentă (g).

Având în vedere punctul de cădere a pietrei de la elicopter ca origine, procedăm după cum urmează

Dacă în sus viteza inițială trebuie luată pozitiv atunci accelerare în jos (g) ar trebui să fie luate ca negativ și deplasarea în jos (h) ar trebui să fie luate în considerare negativ.

#color (roșu) ("Aici în sus + ve și în jos-vă") #

Acum, calculul timpului (t) de a ajunge la sol

Deci avem

# u = + 20,68 m / s #

# G = -9.8m / s ^ 2 #

# H = -174.9m #

#t =? #

Introducerea acestora în ecuația de mișcare sub gravitate (cuprinzând variabilele h, u, g, t) primim

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => T = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4.9 * (- 174,9))) / (2 * 4.9) #

#:. t = 8.45s #

Aceeași ecuație (1) va fi obținută dacă inversăm direcția#color (roșu) ("adică în sus și în jos + ive.") #